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Integración por sustitución

Integración por sustitución

La técnica más poderosa de integración: cambiar de variable

La integración por sustitución (o método de cambio de variable) es la técnica de integración más utilizada. Es, en cierto sentido, la versión integral de la regla de la cadena: así como la cadena permite derivar funciones compuestas, la sustitución permite integrar funciones que resultan de composiciones.

La idea detrás de la sustitución

Cuando ves una integral del tipo:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx

Puedes reconocer que el integrando es exactamente lo que producirías al aplicar la regla de la cadena. Si defines u = g(x), entonces du = g'(x)dx, y la integral se simplifica:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

La clave es identificar la sustitución adecuada que simplifica la integral.

Procedimiento paso a paso

  1. Identificar una función interior u = g(x).
  2. Calcular du = g'(x) dx.
  3. Reemplazar en la integral: todo debe quedar en términos de u.
  4. Integrar respecto a u.
  5. Sustituir de vuelta: u → g(x).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Potencia de función lineal

∫ (3x + 5)⁴ dx
u = 3x + 5  →  du = 3dx  →  dx = du/3
∫ u⁴ · (du/3) = (1/3)·u⁵/5 + C = u⁵/15 + C
= (3x + 5)⁵/15 + C

Ejemplo 2 — Exponencial compuesto

∫ 2x·e^(x²) dx
u = x²  →  du = 2x dx
∫ eᵘ du = eᵘ + C = e^(x²) + C

Ejemplo 3 — Función racional

∫ x / (x² + 1) dx
u = x² + 1  →  du = 2x dx  →  x dx = du/2
∫ (1/u)·(du/2) = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln(x²+1) + C

Ejemplo 4 — Trigonométrico

∫ sen³(x)·cos(x) dx
u = sen(x)  →  du = cos(x) dx
∫ u³ du = u⁴/4 + C = sen⁴(x)/4 + C

Ejemplo 5 — Raíz compuesta

∫ x/√(x²−4) dx
u = x²−4  →  du = 2x dx  →  x dx = du/2
∫ (1/√u)·(du/2) = (1/2)·2√u + C = √(x²−4) + C

Sustitución en integrales definidas

Hay dos métodos:

Método A: cambiar también los límites de integración. Si u = g(x), los nuevos límites son u(a) y u(b):

∫[0]^[1] 2x·e^(x²) dx
u = x², du = 2xdx
Límites: x=0 → u=0; x=1 → u=1
= ∫[0]^[1] eᵘ du = [eᵘ]₀¹ = e − 1

Método B: integrar indefinidamente, sustituir de vuelta en x, y luego evaluar en los límites originales. Ambos métodos son equivalentes; el Método A suele ser más eficiente.

Cómo reconocer cuándo usar sustitución

Busca uno de estos patrones:

  • El integrando contiene f(g(x)) multiplicado por g'(x) (o un múltiplo constante de g'(x)).
  • Una función interior complicada (argumento de eˣ, de ln, de sen/cos, etc.) con su derivada presente.
  • El integrando es de la forma g'(x)/g(x) (resultado: ln|g(x)| + C).

Errores comunes

  • Olvidar cambiar dx en términos de du (el diferencial siempre cambia).
  • No despejar dx correctamente: si du = 3dx, entonces dx = du/3, no du·3.
  • Olvidar volver a la variable original en integrales indefinidas.
  • En integrales definidas, usar los límites en x cuando ya estamos integrando en u.

Resumen

u = g(x)
du = g'(x)dx
∫ f(g(x))·g'(x)dx = ∫ f(u) du → F(u) + C → F(g(x)) + C
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