Integración por partes

Cuando hay dos funciones multiplicadas: integración por partes

La integración por partes es la técnica que permite integrar productos de dos funciones cuando la sustitución no funciona. Es la versión integral de la regla del producto para derivadas.

La fórmula de integración por partes

Partiendo de la regla del producto: (u·v)' = u'·v + u·v', integrando ambos lados:

∫ u·v' dx = u·v − ∫ v·u' dx

En notación más compacta (usando v' dx = dv y u' dx = du):

∫ u dv = u·v − ∫ v du

El truco está en elegir bien qué es u y qué es dv, porque la nueva integral ∫v du debe ser más fácil que la original.

Guía LIATE para elegir u

La regla nemotécnica LIATE indica el orden de preferencia para elegir u:

L — Logarítmicas (ln, log)
I — Inversas trigonométricas (arctan, arcsen)
A — Algebraicas/Polinomios (xⁿ)
T — Trigonométricas (sen, cos, tan)
E — Exponenciales (eˣ, aˣ)

Se elige u del tipo que aparece primero en LIATE, y dv es el resto.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Polinomio × Exponencial

∫ x·eˣ dx
u = x (A) → du = dx
dv = eˣ dx → v = eˣ
= x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C

Ejemplo 2 — Polinomio × Trigonométrica

∫ x·cos(x) dx
u = x → du = dx
dv = cos(x) dx → v = sen(x)
= x·sen(x) − ∫ sen(x) dx
= x·sen(x) + cos(x) + C

Ejemplo 3 — Logaritmo solo

∫ ln(x) dx
u = ln(x) → du = (1/x)dx
dv = dx → v = x
= x·ln(x) − ∫ x·(1/x) dx
= x·ln(x) − ∫ 1 dx
= x·ln(x) − x + C

Ejemplo 4 — Aplicación doble

∫ x²·eˣ dx
Primera vuelta:
u = x², dv = eˣ dx → v = eˣ
= x²eˣ − ∫ 2x·eˣ dx

Segunda vuelta en ∫ 2x·eˣ dx:
= 2[xeˣ − eˣ] = 2eˣ(x−1)

Resultado final:
= x²eˣ − 2eˣ(x−1) + C = eˣ(x² − 2x + 2) + C

Técnica circular (integrales de eˣ·sen/cos)

∫ eˣ·sen(x) dx
Primera vuelta: u = eˣ, dv = sen(x)dx
= −eˣ·cos(x) + ∫ eˣ·cos(x) dx

Segunda vuelta en ∫ eˣ·cos(x) dx: u = eˣ, dv = cos(x)dx
= eˣ·sen(x) − ∫ eˣ·sen(x) dx

Llamemos I = ∫ eˣ·sen(x) dx:
I = −eˣ·cos(x) + eˣ·sen(x) − I
2I = eˣ(sen(x) − cos(x))
I = (eˣ/2)·(sen(x) − cos(x)) + C

Integración por partes en integral definida

∫[0]^[1] x·eˣ dx = [eˣ(x−1)]₀¹
= e⁰·(1−1) − e⁰·(0−1)
= 0 − (−1) = 1

Cuándo usar partes vs. sustitución

Resumen

∫ u dv = uv − ∫ v du
Elegir u con LIATE: L > I > A > T > E