Funciones Logarítmicas: Inversas de Exponenciales

Introducción

Los logaritmos son el inverso de exponenciales. "¿A qué potencia elevo b para obtener x?"

Definición

log_b(x) = y ⟺ bʸ = x

Ejemplo:

log₂(8) = 3 porque 2³ = 8
log₁₀(100) = 2 porque 10² = 100

Logaritmos Especiales

Logaritmo Común (base 10)

log(x) = log₁₀(x)

Logaritmo Natural (base e)

ln(x) = log_e(x) donde e ≈ 2.71828

Propiedades

1. log_b(1) = 0
2. log_b(b) = 1
3. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
4. log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)
5. log_b(xⁿ) = n × log_b(x)

Cálculos

Ejemplo #1: log(1000)

1000 = 10³
log(1000) = 3

Ejemplo #2: log₂(1/16)

1/16 = 2⁻⁴
log₂(1/16) = -4

Ejemplo #3: Simplificar log(8) + log(125)

= log(8 × 125)
= log(1000)
= 3

Ecuaciones Logarítmicas

Ejemplo: log₂(x) = 5

x = 2⁵ = 32

Ejemplo: log(x) + log(x-3) = 1

log[x(x-3)] = 1
x(x-3) = 10
x² - 3x - 10 = 0
(x-5)(x+2) = 0
x = 5 (x=-2 no válido)

Aplicaciones

pH: pH = -log[H⁺] Richter: M = log(A/A₀) Decibeles: dB = 10log(I/I₀)

Ejercicios

1. log₃(81)
2. Resolver log(x) = 2
3. Simplificar 2log(5) + log(4)

Soluciones: 1) 4 2) x=100 3) log(100)=2

Palabras clave: logaritmos, función logarítmica, propiedades logaritmos, ecuaciones logarítmicas