Funciones Exponenciales: Crecimiento y Decrecimiento

Introducción

Modelan crecimiento poblacional, interés compuesto, decaimiento radiactivo.

Forma General

f(x) = a × bˣ donde b > 0, b ≠ 1

• a: valor inicial
• b: base (factor de crecimiento/decrecimiento)

Tipos

Crecimiento Exponencial (b > 1)

Ejemplo: f(x) = 2ˣ

x = 0: f(0) = 1
x = 1: f(1) = 2
x = 2: f(2) = 4
x = 3: f(3) = 8

Decaimiento Exponencial (0 < b < 1)

Ejemplo: f(x) = (1/2)ˣ

x = 0: f(0) = 1
x = 1: f(1) = 0.5
x = 2: f(2) = 0.25

Propiedades

1. Dominio: ℝ
2. Rango: (0, ∞)
3. Intercepto y: f(0) = a
4. Asíntota horizontal: y = 0
5. No tiene intercepto x

Aplicaciones

Interés Compuesto

A = P(1 + r)ᵗ

Ejemplo: $10,000 al 5% anual por 3 años

A = 10000(1.05)³
A = 10000(1.157625) = $11,576.25

Crecimiento Poblacional

P(t) = P₀ × 2^(t/d) donde d = tiempo de duplicación

Ejemplo: Población 1000, duplica cada 10 años

P(t) = 1000 × 2^(t/10)
P(20) = 1000 × 4 = 4000

Decaimiento Radiactivo

N(t) = N₀ × (1/2)^(t/h) donde h = vida media

Ejercicios

1. f(x) = 3ˣ, hallar f(0), f(2), f(-1)
2. $5000 al 8% anual, ¿cuánto en 5 años?
3. Población 500, duplica cada 8 años, ¿cuánto en 24 años?

Soluciones: 1) 1, 9, 1/3 2) $7,346.64 3) 4000

Palabras clave: función exponencial, crecimiento exponencial, interés compuesto, decaimiento