Introducción
La función cuadrática forma una parábola. Aparece en trayectorias, caídas libres, optimización.
Forma General
f(x) = ax² + bx + c donde a ≠ 0
- a: determina abertura y dirección
- b, c: determinan posición
Características
Dirección
- a > 0: Abre hacia arriba ∪ (mínimo)
- a < 0: Abre hacia abajo ∩ (máximo)
Vértice (h, k)
Punto máximo o mínimo
Fórmulas:
h = -b/(2a)
k = f(h)
Eje de Simetría
x = h = -b/(2a)
Intercepto y
f(0) = c
Interceptos x (raíces)
Resolver ax² + bx + c = 0
Ejemplo Completo
f(x) = x² - 4x + 3
a = 1 (abre arriba)
Vértice:
h = -(-4)/(2×1) = 2
k = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Vértice: (2, -1)
Eje simetría: x = 2
Int. y: c = 3 → (0, 3)
Int. x: x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1, x = 3
Forma Canónica
f(x) = a(x - h)² + k
Vértice directamente: (h, k)
Ejemplo: f(x) = 2(x - 3)² + 5
Vértice: (3, 5)
Abre arriba (a = 2 > 0)
Problemas Aplicados
Problema: Proyectil Altura h(t) = -5t² + 20t + 2. ¿Altura máxima?
t = -20/(2×-5) = 2 segundos
h(2) = -5(4) + 40 + 2 = 22 metros
Ejercicios
- f(x) = x² + 6x + 8, hallar vértice
- f(x) = -2x² + 4x + 1, ¿máximo o mínimo?
- f(x) = (x - 1)² - 4, hallar raíces
Soluciones: 1) (-3,-1) 2) Máximo 3) x=-1, x=3
Palabras clave: función cuadrática, parábola, vértice parábola, función de segundo grado