Factorización de Trinomios

Introducción

Factorizar trinomios (expresiones de tres términos) es una habilidad fundamental en álgebra. Aprenderás diferentes métodos según el tipo de trinomio.

Trinomio de la Forma x² + bx + c

Objetivo: Encontrar dos números que:

• Sumados den b
• Multiplicados den c

Patrón: x² + bx + c = (x + m)(x + n) donde m + n = b y m·n = c

Ejemplo #1

Factorizar x² + 5x + 6

``` Necesitamos dos números que:

• Sumen 5
• Multipliquen 6

Opciones: 1×6, 2×3 2 + 3 = 5 ✓ 2 × 3 = 6 ✓

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ```

Ejemplo #2

Factorizar x² - 7x + 12

``` Dos números que:

• Sumen -7
• Multipliquen +12

(-3) + (-4) = -7 ✓ (-3) × (-4) = 12 ✓

x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) ```

Ejemplo #3

Factorizar x² + 2x - 15

``` Dos números que:

• Sumen 2
• Multipliquen -15

5 + (-3) = 2 ✓ 5 × (-3) = -15 ✓

x² + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) ```

Reglas de Signos

| Producto c | Suma b | Signos de m y n | |------------|--------|-----------------| | Positivo (+) | Positivo (+) | Ambos positivos | | Positivo (+) | Negativo (-) | Ambos negativos | | Negativo (-) | Positivo (+) | Mayor positivo | | Negativo (-) | Negativo (-) | Mayor negativo |

Trinomio de la Forma ax² + bx + c

Método 1: Ensayo y Error

Cuando a ≠ 1, busca factores de a y c que funcionen.

Ejemplo #4

Factorizar 2x² + 7x + 3

``` Factores de 2: 1·2 Factores de 3: 1·3

Probar: (2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3 ✓

Respuesta: (2x + 1)(x + 3) ```

Método 2: Descomposición

Pasos: 1. Multiplicar a·c 2. Encontrar dos números que sumen b y multipliquen a·c 3. Descomponer el término medio 4. Factorizar por agrupación

Ejemplo #5

Factorizar 3x² + 10x + 8

``` Paso 1: a·c = 3·8 = 24

Paso 2: Dos números que:

• Sumen 10
• Multipliquen 24

Paso 3: Descomponer 3x² + 10x + 8 = 3x² + 4x + 6x + 8

Paso 4: Agrupación = x(3x + 4) + 2(3x + 4) = (3x + 4)(x + 2) ```

Ejemplo #6

Factorizar 6x² - 11x + 3

``` a·c = 6·3 = 18

Números que suman -11 y multiplican 18: -2 y -9

6x² - 11x + 3 = 6x² - 2x - 9x + 3 = 2x(3x - 1) - 3(3x - 1) = (3x - 1)(2x - 3) ```

Trinomios con Factor Común

Siempre sacar el factor común primero.

Ejemplo #7

Factorizar 2x² + 8x + 6

``` Paso 1: Factor común 2(x² + 4x + 3)

Paso 2: Factorizar trinomio 2(x + 1)(x + 3) ```

Trinomios No Factorizables

No todos los trinomios se pueden factorizar con números enteros.

Ejemplo: x² + 2x + 2

No hay dos números enteros que sumen 2 y multipliquen 2. → Trinomio primo (no factorizable en enteros)

Verificación

Siempre verifica multiplicando los factores.

Ejemplo: (x + 2)(x + 3) = ?

``` x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 ✓ ```

Problemas Resueltos

Problema #1: x² + 9x + 20 ``` (x + 4)(x + 5) ```

Problema #2: x² - x - 12 ``` (x - 4)(x + 3) ```

Problema #3: 3x² + 11x + 6 ``` (3x + 2)(x + 3) ```

Problema #4: 2x² - 10x + 12 ``` 2(x² - 5x + 6) = 2(x - 2)(x - 3) ```

Ejercicios

Nivel Básico: 1. x² + 7x + 10 2. x² - 5x + 6 3. x² + 4x - 12

Nivel Intermedio: 4. 2x² + 5x + 3 5. 3x² - 10x + 8 6. x² + x - 20

Nivel Avanzado: 7. 6x² + 7x + 2 8. 4x² - 8x + 4 9. 5x² - 13x - 6

Soluciones

Conclusión

Factorizar trinomios requiere práctica pero sigue patrones claros. Con tiempo, identificarás los factores rápidamente.

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Palabras clave: factorización de trinomios, trinomio cuadrático, factorizar ax² + bx + c