Introducción
La factorización es el proceso inverso a la multiplicación: descomponer una expresión en un producto de factores. Es esencial para simplificar y resolver ecuaciones.
Factor Común
Definición: Sacar el factor que se repite en todos los términos.
Factor Común Simple
Método: Identificar el mayor factor común a todos los términos.
Ejemplo #1: 6x + 9
``` Factor común: 3 6x + 9 = 3(2x + 3)
Verificación: 3·2x + 3·3 = 6x + 9 ✓ ```
Ejemplo #2: 4x² - 8x
``` Factor común: 4x 4x² - 8x = 4x(x - 2) ```
Factor Común con Variables
Ejemplo #3: x³ + x² - x
``` Factor común: x (menor exponente) x³ + x² - x = x(x² + x - 1) ```
Ejemplo #4: 6x²y + 9xy² - 3xy
``` MCD de coeficientes: 3 Variables comunes: xy
Factor común: 3xy 6x²y + 9xy² - 3xy = 3xy(2x + 3y - 1) ```
Factor Común por Agrupación
Cuándo usar: Expresiones con 4 o más términos sin factor común total.
Método de Agrupación
Pasos: 1. Agrupar términos en pares 2. Sacar factor común en cada grupo 3. Si aparece un factor común en los grupos, sacarlo
Ejemplo #5: ax + ay + bx + by
``` Paso 1: Agrupar (ax + ay) + (bx + by)
Paso 2: Factor común en cada grupo a(x + y) + b(x + y)
Paso 3: Factor común final (x + y)(a + b) ```
Ejemplo #6: x³ - 2x² + 3x - 6
``` Agrupación: (x³ - 2x²) + (3x - 6)
Factor común por grupo: x²(x - 2) + 3(x - 2)
Factor común final: (x - 2)(x² + 3) ```
Ejemplo #7: 2x³ + 4x² - x - 2
``` (2x³ + 4x²) + (-x - 2) 2x²(x + 2) - 1(x + 2) (x + 2)(2x² - 1) ```
Casos Especiales
Cambio de Signos
A veces necesitas cambiar signos para ver el factor común.
Ejemplo #8: 3x - 3y - ax + ay
``` (3x - 3y) + (-ax + ay) 3(x - y) - a(x - y) (x - y)(3 - a) ```
Agrupación en Tres Términos
Ejemplo #9: x² + 2xy + y² - 9
``` Reconocer cuadrado perfecto: (x + y)² - 9
Diferencia de cuadrados: (x + y + 3)(x + y - 3) ```
Estrategia General
Orden de factorización: 1. ¿Hay factor común? → Sacarlo primero 2. ¿Son 2 términos? → Diferencia de cuadrados 3. ¿Son 3 términos? → Trinomio cuadrado perfecto o factorización 4. ¿Son 4+ términos? → Agrupación
Problemas Resueltos
Problema #1: 12x²y - 18xy²
``` Factor común: 6xy 12x²y - 18xy² = 6xy(2x - 3y) ```
Problema #2: x³ + 3x² + 2x + 6
``` (x³ + 3x²) + (2x + 6) x²(x + 3) + 2(x + 3) (x + 3)(x² + 2) ```
Problema #3: 2ax - 2bx + 3ay - 3by
``` (2ax - 2bx) + (3ay - 3by) 2x(a - b) + 3y(a - b) (a - b)(2x + 3y) ```
Ejercicios
Nivel Básico: 1. 5x + 10 2. x² - 3x 3. 2xy + 4x
Nivel Intermedio: 4. x³ + 2x² + 5x + 10 5. 6a²b - 9ab² 6. xy + 2y + 3x + 6
Nivel Avanzado: 7. x³ - x² - x + 1 8. 3x² - 3y² + xy - y³
Soluciones
1. 5(x + 2) 2. x(x - 3) 3. 2x(y + 2) 4. (x + 2)(x² + 5) 5. 3ab(2a - 3b) 6. (x + 2)(y + 3) 7. (x - 1)(x² - 1) = (x-1)²(x+1) 8. 3(x - y)(x + y) + y²(x - y) = (x-y)(3x+3y+y²)Conclusión
Factor común y agrupación son las primeras técnicas de factorización. Domínalas antes de pasar a métodos más complejos.
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Palabras clave: factor común, factorización por agrupación, factorizar polinomios, algebra