Estudio completo de una función

Analizar una función de arriba a abajo

El estudio completo de una función es el proceso sistemático de extraer toda la información relevante sobre f(x): su dominio, simetrías, asíntotas, crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexión, para finalmente trazar su gráfica con precisión.

Etapas del estudio completo

1. Dominio

Identificar todos los valores de x para los que f está definida. Excluir: - Denominadores iguales a cero. - Argumentos negativos de raíces pares. - Argumentos no positivos de logaritmos.

2. Simetría

• Par: f(−x) = f(x) → simétrica respecto al eje y.
• Impar: f(−x) = −f(x) → simétrica respecto al origen.
• Sin simetría: caso general.

3. Cortes con los ejes

• Eje y: calcular f(0).
• Eje x (raíces): resolver f(x) = 0.

4. Asíntotas

• Verticales: x = a donde f(x) → ±∞ (denominador = 0 no cancelable).
• Horizontales: lim f(x) cuando x → ±∞.
• Oblicuas: si lim f(x)/x = m ≠ 0, la asíntota es y = mx + b.

5. Crecimiento y extremos

Calcular f'(x), encontrar puntos críticos, analizar signo de f' y clasificar extremos.

6. Concavidad e inflexiones

Calcular f''(x), analizar su signo, encontrar puntos de inflexión.

7. Gráfica

Reunir toda la información y trazar la curva.

Ejemplo completo resuelto

f(x) = (x² − 1) / (x² − 4)

1. Dominio: x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2. Dominio: ℝ \ {−2, 2}.

2. Simetría: f(−x) = ((−x)²−1)/((−x)²−4) = (x²−1)/(x²−4) = f(x). → Función par.

3. Cortes: - f(0) = −1/−4 = 1/4 → corta eje y en (0, 1/4). - f(x) = 0 → x²−1 = 0 → x = ±1. Corta eje x en (±1, 0).

4. Asíntotas: - Verticales: x = 2 y x = −2 (denominador = 0, numerador ≠ 0). - Horizontal: lim f(x) cuando x→∞ = 1 → y = 1. (Los coeficientes de x² son iguales: 1/1 = 1.)

5. Crecimiento:

f'(x) = [2x(x²−4) − (x²−1)·2x] / (x²−4)²
      = 2x[(x²−4)−(x²−1)] / (x²−4)²
      = 2x(−3) / (x²−4)²
      = −6x / (x²−4)²

f'(x) = 0 → x = 0. f'(x) > 0 para x < 0 (x ≠ −2); f'(x) < 0 para x > 0 (x ≠ 2).

• Creciente en (−∞, −2) y (−2, 0).
• Decreciente en (0, 2) y (2, +∞).
• Máximo relativo en x = 0: f(0) = 1/4.

6. Concavidad: (se deja como ejercicio, requiere derivar f').

7. Tabla resumen:

Función racional más simple para practicar

f(x) = x / (x + 2)

• Dominio: x ≠ −2.
• Asíntota vertical: x = −2. Horizontal: y = 1.
• Corte y: f(0) = 0. Corte x: x = 0.
• f'(x) = 2/(x+2)² > 0 siempre → estrictamente creciente.
• f''(x) = −4/(x+2)³: cóncava ↑ para x < −2, cóncava ↓ para x > −2.

Por qué es importante el estudio completo

El estudio completo da una fotografía matemática de la función: antes de hacer una gráfica con una calculadora o un ordenador, entender analíticamente el comportamiento garantiza que interpretes correctamente lo que ves. Además, en exámenes y aplicaciones, la capacidad de analizar una función sin calculadora es una habilidad fundamental.