Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, desarrolló el método para resolver un problema de geometría sustituyéndolo por un problema de cálculo numérico, utilizando las llamadas ecuaciones cartesianas.
¿Cómo determinar la ecuación de una recta? ¿De qué manera nos ayuda la ecuación de una recta a resolver problemas de paralelismo o de ortogonalidad? En este tutorial desarrollaremos estas dos cuestiones.
También veremos que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se puede interpretar mediante las ecuaciones de dos rectas. Las coordenadas del punto de corte de estas dos rectas son la solución de este sistema.
I. Determinar la ecuación de una recta
Sean A(xA, yA) y B(xB, yB) dos puntos dados en un sistema de coordenadas cartesianas xy. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos (la recta AB) hemos de hallar la condición necesaria y suficiente para que un punto cualquiera M(x, y) esté alineado con A y B: esta condición supone que los vectores

deben tener la misma dirección, es decir, deben ser colineales.
Las coordenadas del vector

son (xB - xA, yB - yA), y las coordenadas del vector

son (x - xA, y - yA). Para que dichos vectores sean colineales, se debe cumplir que: (x - xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB - xA).
Se dan los dos casos siguientes:
—si los puntos A y B tienen el mismo valor de la abscisa, k, entonces xB - xA = 0, y la ecuación de la recta AB es x = k, que es una recta paralela al eje de ordenadas (eje y);
—si xB - xA ≠ 0, podemos calcular la pendiente de la recta AB:

y la ordenada en el origen: n = yA - mxA. La ecuación explícita de la recta AB es: y = mx + n.
Recíprocamente, en un sistema de coordenadas cartesianas xy, el conjunto de puntos M de coordenadas (x, y) tales que y = mx + n es una recta que no es paralela al eje y.
Ejemplo:

Sean los dos puntos A(4, 2) y B(-1, 3), y un punto M cualquiera de coordenadas (x, y).
Si calculamos las coordenadas de los vectores

, obtenemos

(x – 4, y – 2) y

(–5, 1).
Decimos que M está alineado con A y B si los “productos cruzados” son iguales, lo que se traduce en la siguiente ecuación: (x – 4) · 1 = (y – 2) · (–5), que es la ecuación de la recta AB.
Transformando esa igualdad, llegamos a la ecuación:

II. Utilizar la ecuación de una recta
Para averiguar si un punto pertenece a una recta: sustituimos en la ecuación de dicha recta el valor de la x por el valor de la primera coordenada del punto, y verificamos si el valor de y que se obtiene coincide o no con la segunda coordenada del punto. Por ejemplo, ¿pertenece el punto E de coordenadas (2, -1) a la recta de ecuación y = –2x + 3?
Para resolver este problema, sustituimos x por 2 en la fórmula –2x + 3; si obtenemos –1, el punto está sobre la recta, de lo contrario no lo está.
Por tanto, si sustituimos x por 2, obtenemos: –2 · 2+ 3 = –1; por tanto, el punto E sí pertenece a la recta dada.
Para dibujar una recta de la que conocemos su ecuación, distinguimos dos casos:
—si la ecuación es de la forma x = k, la recta es paralela al eje y; situamos el punto de coordenadas (k, 0) y dibujamos la recta;
—si la ecuación es de la forma y = mx + n, le damos a x dos valores diferentes x1 y x2, y dibujamos la recta que pasa por los puntos de coordenadas (x1, mx1 + n) y (x2, mx2 + n). Si le damos a x los valores x = 0 y

, la recta pasará por los puntos (0, n) y

.
Ejemplo: queremos dibujar la recta de ecuación

.
Le damos a x el valor x = 6, que es divisible entre 3, y calculamos y:

. Obtenemos el punto A de coordenadas (6, 2).
Le damos de nuevo a x otro valor, por ejemplo -3; calculamos y para este valor, y obtenemos el punto B de coordenadas (-3, 5).
Situamos estos dos puntos en el plano cartesiano y dibujamos la recta.

III. Resolución de problemas de geometría con ecuaciones de rectas
Comprobar si dos rectas son paralelas.
Dos rectas de ecuaciones y = mx + n e y = m’x + n’ son paralelas si y solamente si tienen la misma pendiente, es decir, si m = m’.
Por ejemplo, la recta de ecuación

y la recta de ecuación y = 0,4x - 1 son paralelas porque podemos escribir

, que es la pendiente de ambas rectas.
Se puede hallar la ecuación de la paralela a una recta dada, que pase por un punto dado.
Por ejemplo, la paralela a la recta de ecuación y = 2x + 3 que pase por el punto A(1, 4) también tendrá de pendiente 2. Su ordenada en el origen, n, valdrá: n = 4 - 2 · 1 = 2. Así, hemos obtenido la ecuación: y = 2x + 2.
IV. Determinar el punto de intersección de dos rectas
La ecuación de una recta D se puede escribir de la forma ax + by = c donde a y b no pueden ser ambos nulos a la vez. Este tipo de ecuación se llama ecuación lineal con dos incógnitas. Las soluciones a esta ecuación son las coordenadas de los puntos pertenecientes a la recta D.
Hallar las coordenadas del punto donde se cortan dos rectas es lo mismo que resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, formado por las ecuaciones de las dos rectas. Es un sistema de la forma:

Resolver este sistema es hallar todos los pares (x, y) que son solución de las dos ecuaciones a la vez. Si tales pares existen, los puntos que vienen dados por estos pares pertenecen a las dos rectas de ecuaciones ax + by = c y a’x + b’y = c’.
Distinguimos tres casos, presentados en la tabla siguiente.

Existen tres métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
—el método de sustitución, que consiste en despejar de una de las dos ecuaciones una de las incógnitas, expresándola en función de la otra, y sustituirla en la otra ecuación;
—el método de igualación, que consiste en despejar una de las dos incógnitas, la misma, en cada una de las dos ecuaciones, expresándola en función de la otra incógnita, e igualar las expresiones obtenidas;
—el método de reducción, que consiste en combinar las dos ecuaciones en una sola ecuación con una única incógnita. Resolviendo esta ecuación obtendremos el valor de dicha incógnita, y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, obtendremos el valor de la otra incógnita.
Recuerda
—Si una recta es paralela al eje vertical, su ecuación es de la forma x = k; de no ser así, su ecuación es de la forma y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n es su ordenada en el origen.
—Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
—Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
—Para hallar las coordenadas del punto en donde se cortan dos rectas, hemos de resolver el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones de las dos rectas.