División de Polinomios y Regla de Ruffini

Introducción

La división de polinomios es como la división de números, pero con variables. La Regla de Ruffini es un método rápido para dividir entre binomios de la forma (x - a).

División de Polinomios

Método Tradicional (Similar a División Larga)

Ejemplo: (x³ + 3x² - 5x + 2) ÷ (x + 1)

``` x² + 2x - 7 ───────────────── x+1 │ x³ + 3x² - 5x + 2 -(x³ + x²) ──────────── 2x² - 5x -(2x² + 2x) ────────── -7x + 2 -(-7x - 7) ───────── 9 → Residuo

Resultado: x² + 2x - 7 + 9/(x+1) ```

Elementos de la División

Dividendo: P(x) = x³ + 3x² - 5x + 2 Divisor: D(x) = x + 1 Cociente: C(x) = x² + 2x - 7 Residuo: R = 9

Relación fundamental: ``` P(x) = D(x)·C(x) + R ```

Regla de Ruffini

Método abreviado para dividir entre binomios (x - a).

Pasos de Ruffini

Ejemplo: (2x³ - 3x² + x - 5) ÷ (x - 2)

Paso 1: Identificar a = 2 (cambiar el signo: x - 2 → a = 2)

Paso 2: Escribir coeficientes del dividendo

``` 2 │ 2 -3 1 -5 │ ```

Paso 3: Bajar el primer coeficiente

``` 2 │ 2 -3 1 -5 │ ───────────────────── 2 ```

Paso 4: Multiplicar por a, sumar, repetir

``` 2 │ 2 -3 1 -5 │ 4 2 6 ───────────────────── 2 1 3 1 ```

Resultado:

Cociente: 2x² + x + 3
Residuo: 1

Más Ejemplos de Ruffini

Ejemplo #2: (x³ - 2x + 1) ÷ (x + 1)

``` -1 │ 1 0 -2 1 │ -1 1 1 ────────────────────── 1 -1 -1 2

Cociente: x² - x - 1 Residuo: 2 ```

Ejemplo #3: (x⁴ - 5x² + 4) ÷ (x - 2)

``` 2 │ 1 0 -5 0 4 │ 2 4 -2 -4 ───────────────────────── 1 2 -1 -2 0

Cociente: x³ + 2x² - x - 2 Residuo: 0 (división exacta) ```

División Exacta

Una división es exacta cuando el residuo es 0.

Ejemplo: (x² - 4) ÷ (x - 2)

``` 2 │ 1 0 -4 │ 2 4 ───────────────── 1 2 0 ← Residuo = 0

División exacta Cociente: x + 2 ```

Aplicaciones

1. Factorización

Si R = 0, entonces (x - a) es un factor.

2. Verificación

Comprobar si un número es raíz.

3. Simplificación

Reducir expresiones complejas.

Ejercicios

Nivel Básico: 1. (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) usando Ruffini 2. (x³ - 8) ÷ (x - 2)

Nivel Intermedio: 3. (2x³ - x² + 3x - 1) ÷ (x - 1) 4. (x⁴ - 16) ÷ (x - 2)

Nivel Avanzado: 5. (x⁴ + 2x³ - 3x + 5) ÷ (x + 3)

Soluciones

1. Cociente: x + 3, Residuo: 0 2. Cociente: x² + 2x + 4, Residuo: 0 3. Cociente: 2x² + x + 4, Residuo: 3 4. Cociente: x³ + 2x² + 4x + 8, Residuo: 0 5. Cociente: x³ - x² + 3x - 12, Residuo: 41

Conclusión

La Regla de Ruffini simplifica enormemente la división de polinomios. Es rápida, sistemática y esencial para factorización.

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Palabras clave: división de polinomios, regla de Ruffini, división exacta, cociente y residuo