Introducción
Aunque el azar parece
impredecible, muchos fenómenos aleatorios siguen patrones conocidos. Estos
patrones se describen mediante distribuciones de probabilidad, que son
modelos matemáticos que especifican la probabilidad de cada posible resultado.
Variables Aleatorias
Una variable aleatoria
asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio. Puede
ser discreta (valores contables) o continua (cualquier valor en un intervalo).
Distribución Uniforme Discreta
En la distribución uniforme,
todos los resultados tienen la misma probabilidad. Es el modelo del "dado
justo".
P(X = k) = 1/n para k = 1, 2, ..., n
Ejemplo: Un dado justo
tiene P(X = k) = 1/6 para cada cara.
Distribución de Bernoulli
Modela un experimento con solo
dos resultados: éxito (1) o fracaso (0). Ejemplo: lanzar una moneda, aprobar o
reprobar.
• P(X = 1) = p (probabilidad de
éxito)
• P(X = 0) = 1 - p = q
(probabilidad de fracaso)
Distribución Binomial
La distribución binomial cuenta
el número de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli con la misma
probabilidad p.
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
Donde C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
es el coeficiente binomial.
Ejemplo de Binomial
Si lanzas una moneda 10 veces,
¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 caras?
• n = 10, k = 7, p = 0.5
• C(10,7) = 120
• P(X = 7) = 120 × (0.5)^7 ×
(0.5)^3 = 120/1024 ≈ 0.117 = 11.7%
Propiedades de la Binomial
Media: μ = n × p
Varianza: σ² = n × p ×
(1-p)
Desviación estándar: σ =
√(npq)
Introducción a la Distribución Normal
La distribución normal (o
gaussiana) es la "campana" más famosa de la estadística. Muchos
fenómenos naturales la siguen: alturas, errores de medición, calificaciones.
Se caracteriza por su media (μ)
y desviación estándar (σ). La curva es simétrica alrededor de la media.
Conclusión
Las distribuciones de
probabilidad nos permiten modelar el comportamiento del azar. La uniforme
describe equiprobabilidad, la binomial cuenta éxitos, y la normal aparece
cuando hay muchos factores pequeños e independientes. Conocer estas
distribuciones te permite predecir y analizar fenómenos aleatorios con
precisión matemática.