Determinante de una Matriz 3×3 y Regla de Sarrus: Guía Completa

Introducción

Calcular el determinante de una matriz 3×3 es una habilidad esencial en álgebra lineal. Aunque la definición formal puede parecer compleja, existe un método visual llamado regla de Sarrus que simplifica enormemente el cálculo. Esta técnica, que solo funciona para matrices 3×3, te permitirá obtener determinantes de manera rápida y sistemática.

En esta guía aprenderás tanto la regla de Sarrus como el método de expansión por cofactores, entenderás cuándo usar cada uno, y practicarás con ejemplos variados hasta dominar completamente este cálculo fundamental.

La Regla de Sarrus: Método Visual

El Truco de las Diagonales

La regla de Sarrus proporciona una forma visual de calcular el determinante sin memorizar fórmulas complicadas.

Para la matriz:

A = | a₁   a₂   a₃ |
    | b₁   b₂   b₃ |
    | c₁   c₂   c₃ |

Paso 1: Extender la Matriz

Copia las dos primeras columnas a la derecha de la matriz:

| a₁   a₂   a₃ | a₁   a₂ |
| b₁   b₂   b₃ | b₁   b₂ |
| c₁   c₂   c₃ | c₁   c₂ |

Paso 2: Diagonales Descendentes (Sumas)

Multiplica los elementos de las tres diagonales que van de arriba-izquierda hacia abajo-derecha:

Diagonal 1: a₁ × b₂ × c₃
Diagonal 2: a₂ × b₃ × c₁
Diagonal 3: a₃ × b₁ × c₂

Suma estos tres productos.

Paso 3: Diagonales Ascendentes (Restas)

Multiplica los elementos de las tres diagonales que van de abajo-izquierda hacia arriba-derecha:

Diagonal 4: c₁ × b₂ × a₃
Diagonal 5: c₂ × b₃ × a₁
Diagonal 6: c₃ × b₁ × a₂

Resta estos tres productos.

Fórmula Completa

det(A) = (a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂) - (c₁b₂a₃ + c₂b₃a₁ + c₃b₁a₂)

Ejemplo Paso a Paso con Sarrus

Calcula el determinante de:

A = | 1   2   3 |
    | 4   5   6 |
    | 7   8   9 |

Paso 1: Extender la matriz

| 1   2   3 | 1   2 |
| 4   5   6 | 4   5 |
| 7   8   9 | 7   8 |

Paso 2: Diagonales descendentes (suman)

D₁ = 1 × 5 × 9 = 45
D₂ = 2 × 6 × 7 = 84
D₃ = 3 × 4 × 8 = 96

Suma = 45 + 84 + 96 = 225

Paso 3: Diagonales ascendentes (restan)

D₄ = 7 × 5 × 3 = 105
D₅ = 8 × 6 × 1 = 48
D₆ = 9 × 4 × 2 = 72

Resta = 105 + 48 + 72 = 225

Paso 4: Resultado

det(A) = 225 - 225 = 0

El determinante es 0, lo que significa que esta matriz no tiene inversa. Observa que la tercera fila es la suma de las otras dos (7=4+3... espera, eso no cuadra). En realidad, cada fila aumenta en 3: es una progresión aritmética, lo que causa dependencia lineal.

Más Ejemplos Resueltos

Ejemplo 2: Determinante No Nulo

A = | 2   1   3 |
    | 0   4   2 |
    | 1   0   5 |

Extendemos:

| 2   1   3 | 2   1 |
| 0   4   2 | 0   4 |
| 1   0   5 | 1   0 |

Diagonales descendentes:

D₁ = 2 × 4 × 5 = 40
D₂ = 1 × 2 × 1 = 2
D₃ = 3 × 0 × 0 = 0

Suma = 40 + 2 + 0 = 42

Diagonales ascendentes:

D₄ = 1 × 4 × 3 = 12
D₅ = 0 × 2 × 2 = 0
D₆ = 5 × 0 × 1 = 0

Resta = 12 + 0 + 0 = 12

Resultado:

det(A) = 42 - 12 = 30

Ejemplo 3: Con Números Negativos

B = | -1   2   0 |
    |  3  -4   1 |
    |  2   0  -3 |

Diagonales descendentes:

D₁ = (-1) × (-4) × (-3) = -12
D₂ = 2 × 1 × 2 = 4
D₃ = 0 × 3 × 0 = 0

Suma = -12 + 4 + 0 = -8

Diagonales ascendentes:

D₄ = 2 × (-4) × 0 = 0
D₅ = 0 × 1 × (-1) = 0
D₆ = (-3) × 3 × 2 = -18

Resta = 0 + 0 + (-18) = -18

Resultado:

det(B) = -8 - (-18) = -8 + 18 = 10

Método Alternativo: Expansión por Cofactores

Aunque Sarrus es más rápido para cálculos manuales, el método de cofactores es más general y funciona para matrices de cualquier tamaño.

Concepto

Puedes expandir el determinante por cualquier fila o columna. Cada elemento se multiplica por su cofactor.

Expansión por la Primera Fila

det(A) = a₁ × C₁₁ + a₂ × C₁₂ + a₃ × C₁₃

Donde Cᵢⱼ es el cofactor del elemento en posición (i, j).

Cálculo de Cofactores

El cofactor Cᵢⱼ se calcula como:

Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ

Donde Mᵢⱼ es el menor, que es el determinante de la matriz que queda al eliminar la fila i y columna j.

El Tablero de Signos

Los signos de los cofactores siguen un patrón de tablero de ajedrez:

| +   -   + |
| -   +   - |
| +   -   + |

Ejemplo con Cofactores

Calcula el determinante de:

A = | 2   1   3 |
    | 0   4   2 |
    | 1   0   5 |

Expandiendo por la primera columna (tiene un cero, lo que simplifica):

det(A) = 2 × C₁₁ + 0 × C₂₁ + 1 × C₃₁
       = 2 × C₁₁ + 1 × C₃₁

Calculando C₁₁: - Signo: (+1)^(1+1) = +1 - Menor M₁₁: eliminar fila 1 y columna 1

M₁₁ = | 4   2 | = (4)(5) - (2)(0) = 20
      | 0   5 |

• C₁₁ = +1 × 20 = 20

Calculando C₃₁: - Signo: (-1)^(3+1) = +1 - Menor M₃₁: eliminar fila 3 y columna 1

M₃₁ = | 1   3 | = (1)(2) - (3)(4) = 2 - 12 = -10
      | 4   2 |

• C₃₁ = +1 × (-10) = -10

Resultado:

det(A) = 2(20) + 1(-10) = 40 - 10 = 30

Mismo resultado que con Sarrus ✓

¿Cuándo Usar Cada Método?

Usa Sarrus cuando:

• Calculas determinantes 3×3 a mano
• Necesitas rapidez
• La matriz no tiene muchos ceros

Usa Cofactores cuando:

• La matriz tiene una fila o columna con varios ceros
• Necesitas practicar para matrices mayores
• Quieres verificar un resultado

Consejo de Optimización

Si vas a usar cofactores, elige la fila o columna con más ceros para minimizar los cálculos.

Propiedades de Determinantes 3×3

Todas las propiedades de determinantes 2×2 se mantienen:

Propiedad 1: Intercambiar Filas

Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.

Propiedad 2: Filas Proporcionales

Si dos filas son proporcionales, el determinante es cero.

Propiedad 3: Factor Común

Si sacas un factor común de una fila, el determinante se multiplica por ese factor.

Propiedad 4: Suma de Filas

Sumar un múltiplo de una fila a otra no cambia el determinante.

Propiedad 5: Transpuesta

det(Aᵀ) = det(A)

Propiedad 6: Producto

det(A × B) = det(A) × det(B)

Casos Especiales

Matriz Diagonal

D = | a   0   0 |
    | 0   b   0 |
    | 0   0   c |

det(D) = a × b × c

El determinante es simplemente el producto de la diagonal.

Matriz Triangular

U = | a   b   c |      L = | a   0   0 |
    | 0   d   e |          | b   d   0 |
    | 0   0   f |          | c   e   f |

det(U) = a × d × f = det(L)

Para matrices triangulares, el determinante es el producto de la diagonal.

Matriz Identidad

I = | 1   0   0 |
    | 0   1   0 |
    | 0   0   1 |

det(I) = 1

Aplicación: Verificar Invertibilidad

Una matriz 3×3 tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Ejemplo

¿Es invertible?

A = | 1   2   3 |
    | 4   5   6 |
    | 7   8   9 |

Ya calculamos: det(A) = 0

Por lo tanto, A NO es invertible.

Advertencia Importante

La regla de Sarrus SOLO funciona para matrices 3×3.

No intentes aplicarla a matrices 4×4 o mayores. Para esas, debes usar el método de cofactores o reducción por filas.

Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula usando Sarrus:

| 1   0   2 |
| 3   1   4 |
| 2   0   1 |

Ejercicio 2

Usa cofactores expandiendo por la columna 2:

| 2   0   1 |
| 1   0   3 |
| 4   0   2 |

Ejercicio 3

¿Es invertible?

| 1   1   1 |
| 2   2   2 |
| 3   4   5 |

Resumen

Pasos de Sarrus: 1. Copiar las dos primeras columnas a la derecha 2. Sumar productos de diagonales descendentes 3. Restar productos de diagonales ascendentes

Regla de oro: det(A) = 0 ⟺ A no tiene inversa

Dominar el determinante 3×3 es esencial para resolver sistemas de ecuaciones, calcular inversas y entender transformaciones lineales en el espacio.