Derivadas de funciones trigonométricas

El cálculo se encuentra con la trigonometría

Las funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente y sus recíprocas— aparecen en todo: movimiento ondulatorio, señales eléctricas, geometría de oscilaciones, modelado de mareas. Saber derivarlas es imprescindible para cualquier aplicación científica.

Las dos derivadas fundamentales

Todo el catálogo de derivadas trigonométricas se basa en dos resultados centrales, que se demuestran mediante la definición de derivada como límite:

[sen(x)]' = cos(x)
[cos(x)]' = −sen(x)

Estas dos fórmulas hay que memorizarlas. Observa la simetría antisimétrica: derivar seno da coseno; derivar coseno da menos seno.

Ciclo de derivación

sen(x) → cos(x) → −sen(x) → −cos(x) → sen(x) → ...

Derivando 4 veces cualquier función trigonométrica, vuelves al punto de partida.

Derivada de las seis funciones trigonométricas

Las cuatro últimas se derivan usando la regla del cociente a partir del seno y coseno.

Demostración de la derivada de tan(x)

tan(x) = sen(x)/cos(x)
[tan(x)]' = [cos(x)·cos(x) − sen(x)·(−sen(x))] / cos²(x)
           = [cos²(x) + sen²(x)] / cos²(x)
           = 1/cos²(x)
           = sec²(x)

Derivadas con la regla de la cadena

Cuando el argumento no es simplemente x sino una función g(x), aplicamos la cadena:

[sen(g(x))]' = cos(g(x))·g'(x)
[cos(g(x))]' = −sen(g(x))·g'(x)
[tan(g(x))]' = sec²(g(x))·g'(x)

Ejemplos

h(x) = sen(3x²)
h'(x) = cos(3x²)·6x = 6x·cos(3x²)

h(x) = cos(√x)
h'(x) = −sen(√x)·(1/2√x) = −sen(√x)/(2√x)

h(x) = tan(eˣ)
h'(x) = sec²(eˣ)·eˣ

Ejemplos con regla del producto

h(x) = x·sen(x)
h'(x) = sen(x) + x·cos(x)

h(x) = x²·cos(2x)
h'(x) = 2x·cos(2x) + x²·(−sen(2x))·2
      = 2x·cos(2x) − 2x²·sen(2x)

Derivadas de orden superior de seno y coseno

f(x) = sen(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = −sen(x)
f'''(x) = −cos(x)
f^(4)(x) = sen(x)

Esto tiene profundas implicaciones: la ecuación diferencial f'' = −f tiene como soluciones precisamente el seno y el coseno, que son la base del movimiento armónico simple (péndulos, resortes, circuitos LC).

Aplicaciones físicas

Movimiento oscilatorio

La posición de una masa en un resorte puede ser:

x(t) = A·cos(ωt + φ)
Velocidad: v(t) = −Aω·sen(ωt + φ)
Aceleración: a(t) = −Aω²·cos(ωt + φ)

Nota que a(t) = −ω²·x(t): la aceleración es proporcional y opuesta a la posición. Esa es la ley del movimiento armónico.

Señales de corriente alterna

En electrónica, la corriente i(t) = I₀·sen(ωt) tiene una derivada di/dt = I₀ω·cos(ωt), que representa la tasa de cambio del flujo de carga.

Tabla de derivadas con argumento compuesto

Resumen

Las derivadas trigonométricas se aprenden en dos pasos: memorizar las fórmulas básicas de sen y cos, y combinarlas con la regla de la cadena para argumentos compuestos. El resto se construye sobre esa base.