Derivadas de funciones logarítmicas

El logaritmo: la función inversa del exponencial

El logaritmo natural ln(x) es la función inversa de eˣ. Si eˣ "deshace" logaritmos, el logaritmo "deshace" exponenciales. Su derivada es sorprendentemente sencilla y tiene aplicaciones amplísimas.

Derivada del logaritmo natural

[ln(x)]' = 1/x    (para x > 0)

Esta fórmula es notable: la derivada del logaritmo es una función algebraica simple, no otra función logarítmica. Esto hace que el logaritmo sea la "antiderivada" de 1/x, un resultado fundamental en integración.

Derivada del logaritmo en base a

[log_a(x)]' = 1 / (x·ln(a))

Cuando a = e: [ln(x)]' = 1/(x·ln(e)) = 1/x ✓

Regla de la cadena aplicada al logaritmo

[ln(g(x))]' = g'(x) / g(x)

Ejemplos

h(x) = ln(x² + 1)
h'(x) = 2x / (x² + 1)

h(x) = ln(sen(x))
h'(x) = cos(x)/sen(x) = cot(x)

h(x) = ln(√x) = (1/2)ln(x)
h'(x) = 1/(2x)

h(x) = ln(3x − 7)
h'(x) = 3/(3x − 7)

Propiedades del logaritmo para simplificar

Antes de derivar, a veces conviene usar las propiedades del logaritmo para simplificar la expresión:

ln(a·b) = ln(a) + ln(b)
ln(a/b) = ln(a) − ln(b)
ln(aⁿ) = n·ln(a)

Ejemplo:

h(x) = ln(x²·√(x+1))
     = 2ln(x) + (1/2)ln(x+1)
h'(x) = 2/x + 1/[2(x+1)]

Mucho más fácil que aplicar cadena directamente a la función original.

Logarithmic differentiation (derivación logarítmica)

Para funciones de la forma f(x) = [g(x)]^h(x) (base y exponente son funciones), ni la regla de la potencia ni la exponencial bastan. Se usa la derivación logarítmica:

1. Tomar logaritmo natural de ambos lados: ln(y) = h(x)·ln(g(x))
2. Derivar ambos lados respecto a x.
3. Despejar y'.

Ejemplo: f(x) = xˣ

ln(y) = x·ln(x)
(1/y)·y' = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1
y' = y·(ln(x) + 1) = xˣ·(ln(x) + 1)

Productos con logaritmo

h(x) = x·ln(x)
h'(x) = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1

h(x) = ln(x)/x
h'(x) = [(1/x)·x − ln(x)·1] / x² = (1 − ln(x)) / x²

Aplicaciones del logaritmo y su derivada

Entropía y termodinámica

La entropía de un sistema se relaciona con logaritmos naturales. La derivada de la función de entropía describe cómo cambia el desorden con la temperatura.

Escalas logarítmicas en ciencia

La escala Richter (terremotos), decibelios (sonido) y pH (química) son escalas logarítmicas. La derivada logarítmica mide la tasa de cambio relativa:

d/dx [ln(f(x))] = f'(x)/f(x)

Esta es la tasa de crecimiento relativa de f, un concepto clave en economía (elasticidades) y biología (tasas de crecimiento per cápita).

Costo marginal en economía

Si el costo total es C(x), el costo marginal es C'(x). Cuando C(x) = a·ln(x) + b:

C'(x) = a/x

El costo marginal decrece: cada unidad adicional cuesta menos. Eso es economías de escala logarítmicas.

Tabla resumen