Derivadas de funciones inversas

¿Cómo se relacionan las derivadas de una función y su inversa?

Si f tiene una función inversa f⁻¹, existe una relación elegante entre sus derivadas. Esta relación es la base para encontrar las derivadas de funciones como arcsen(x), arccos(x), arctan(x) y otras funciones inversas que aparecen frecuentemente en cálculo y física.

Teorema de la derivada de la función inversa

Si f es derivable y biyectiva en un intervalo, y f'(x) ≠ 0, entonces f⁻¹ es derivable y:

[f⁻¹(y)]' = 1 / f'(f⁻¹(y))

O en notación dy/dx: si y = f(x), entonces x = f⁻¹(y) y:

dx/dy = 1 / (dy/dx)

Interpretación geométrica

Las gráficas de f y f⁻¹ son simétricas respecto a la recta y = x. Si la tangente a f en el punto (a, b) tiene pendiente m, la tangente a f⁻¹ en el punto (b, a) tiene pendiente 1/m. Las pendientes son recíprocas.

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Arcoseno

[arcsen(x)]' = 1 / √(1 − x²)    |x| < 1

Arcocoseno

[arccos(x)]' = −1 / √(1 − x²)    |x| < 1

Nota: son opuestas en signo. Esto tiene sentido porque arcsen(x) + arccos(x) = π/2 (constante), cuya derivada es 0.

Arcotangente

[arctan(x)]' = 1 / (1 + x²)

Esta es especialmente importante: es la forma en que suelen presentarse muchas integrales racionales.

Resumen de inversas trigonométricas

Derivadas con regla de la cadena

[arcsen(g(x))]' = g'(x) / √(1 − [g(x)]²)
[arctan(g(x))]' = g'(x) / (1 + [g(x)]²)

Ejemplos:

h(x) = arctan(x²)
h'(x) = 2x / (1 + x⁴)

h(x) = arcsen(3x − 1)
h'(x) = 3 / √(1 − (3x−1)²)

h(x) = arctan(√x)
h'(x) = (1/2√x) / (1 + x) = 1/[2√x·(1+x)]

Derivadas de funciones inversas no trigonométricas

Raíz como inversa de potencia

f(x) = xⁿ tiene inversa f⁻¹(x) = x^(1/n).

[x^(1/n)]' = (1/n)·x^(1/n − 1)

Que es simplemente la regla de la potencia con exponente fraccionario.

Logaritmo como inversa de exponencial

f(x) = eˣ tiene inversa f⁻¹(x) = ln(x).

Usando la fórmula: [ln(y)]' = 1/f'(f⁻¹(y)) = 1/e^(ln(y)) = 1/y ✓

Aplicaciones

Geometría diferencial

Las funciones inversas permiten reparametrizar curvas. Si una curva está dada como x en función de y, la fórmula de la derivada inversa permite encontrar dy/dx.

Física: ángulos de visión

El ángulo θ bajo el que se ve un objeto de altura h a distancia d es θ = arctan(h/d). La derivada respecto a d da la tasa de cambio del ángulo al alejarse.

Resumen

La derivada de la función inversa es el recíproco de la derivada de la función original, evaluada en el punto correspondiente:

[f⁻¹]'(b) = 1 / f'(a)    donde b = f(a), es decir a = f⁻¹(b)