Derivadas de funciones exponenciales

La función que se deriva a sí misma

Entre todas las funciones, hay una extraordinaria: eˣ, cuya derivada es ella misma. Este es uno de los resultados más elegantes de todo el cálculo y tiene consecuencias enormes en matemáticas, física, economía y biología.

El número e y la función exponencial natural

El número e ≈ 2.71828... es la base de la exponencial natural. Se puede definir de varias maneras, la más intuitiva siendo:

e = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ

La función eˣ (también escrita exp(x)) tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento en cada punto es igual a su propio valor. Ese es exactamente su significado como derivada.

Derivada de la exponencial natural

[eˣ]' = eˣ

Esta función es su propia derivada, y también su propia integral. Ninguna otra función tiene esta propiedad de forma exacta.

Derivada de la exponencial general aˣ

Para una base a > 0, a ≠ 1:

[aˣ]' = aˣ · ln(a)

Cuando a = e, ln(e) = 1 y recuperamos [eˣ]' = eˣ.

Ejemplos:

[2ˣ]' = 2ˣ · ln(2)  ≈  2ˣ · 0.693
[10ˣ]' = 10ˣ · ln(10)  ≈  10ˣ · 2.303
[3ˣ]' = 3ˣ · ln(3)

Derivadas con la regla de la cadena

[e^(g(x))]' = e^(g(x)) · g'(x)
[a^(g(x))]' = a^(g(x)) · ln(a) · g'(x)

Ejemplos paso a paso

h(x) = e^(3x)
h'(x) = e^(3x) · 3 = 3e^(3x)

h(x) = e^(x² − 2x + 1)
h'(x) = e^(x² − 2x + 1) · (2x − 2)

h(x) = e^(sen(x))
h'(x) = e^(sen(x)) · cos(x)

h(x) = 5^(2x + 1)
h'(x) = 5^(2x + 1) · ln(5) · 2 = 2ln(5)·5^(2x+1)

Producto y cociente con exponencial

h(x) = x²·eˣ
h'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ(x² + 2x) = eˣ·x(x + 2)

h(x) = eˣ / (x + 1)
h'(x) = [eˣ(x+1) − eˣ·1] / (x+1)²
      = eˣ·x / (x+1)²

Derivadas de orden superior de eˣ

f(x) = eˣ
f'(x) = eˣ
f''(x) = eˣ
f^(n)(x) = eˣ para todo n

La exponencial natural no cambia al derivarse. Esto la hace fundamental en las ecuaciones diferenciales: y' = y tiene la solución y = Ceˣ.

Aplicaciones del mundo real

Crecimiento exponencial

Una población crece como P(t) = P₀·eᵏᵗ. La tasa de crecimiento instantánea es:

P'(t) = k·P₀·eᵏᵗ = k·P(t)

La tasa de crecimiento es proporcional al tamaño actual. Eso es el crecimiento exponencial en su esencia.

Decaimiento radioactivo

La masa de un isótopo radiactivo: M(t) = M₀·e^(−λt)

M'(t) = −λ·M₀·e^(−λt) = −λ·M(t)

La masa disminuye proporcionalmente a su valor actual (con signo negativo: decaimiento).

Interés continuo en finanzas

Un capital C₀ con interés continuo r: C(t) = C₀·eʳᵗ

C'(t) = r·C₀·eʳᵗ = r·C(t)

Medicina: concentración de fármacos

La concentración de un medicamento en sangre sigue un decaimiento exponencial, y su derivada da la tasa de eliminación, fundamental para establecer dosis.

Resumen de derivadas exponenciales