Derivada del producto y del cociente

Cuando las funciones se combinan: producto y cociente

Hasta ahora derivamos funciones simples. Pero en la práctica, la mayoría de las funciones son combinaciones: un polinomio multiplicado por un seno, una función exponencial dividida entre un polinomio, etcétera.

Para derivar estas combinaciones necesitamos dos reglas fundamentales: la regla del producto y la regla del cociente. Aprenderlas bien —y evitar los errores típicos— te abre la puerta a derivar funciones mucho más complejas.

La regla del producto

Si h(x) = f(x) · g(x), entonces:

h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

En palabras: derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.

¿Por qué no es simplemente f'·g'?

Comprobación rápida: sea f(x) = x² y g(x) = x³. - h(x) = x⁵ → h'(x) = 5x⁴ - f'·g' = 2x · 3x² = 6x³ ≠ 5x⁴

Claramente incorrecto. La regla del producto es necesaria.

Demostración intuitiva: cuando dos cantidades que cambian se multiplican, el cambio total incluye el cambio de la primera mientras la segunda permanece fija, más el cambio de la segunda mientras la primera permanece fija. Esa es exactamente la regla.

Ejemplos de la regla del producto

Ejemplo 1 — Polinomio × función trigonométrica

h(x) = x² · sen(x)
f = x²  →  f' = 2x
g = sen(x)  →  g' = cos(x)
h'(x) = 2x·sen(x) + x²·cos(x)

Ejemplo 2 — Polinomio × exponencial

h(x) = (3x − 1)·eˣ
f = 3x − 1  →  f' = 3
g = eˣ  →  g' = eˣ
h'(x) = 3eˣ + (3x−1)eˣ = eˣ(3 + 3x − 1) = eˣ(3x + 2)

Ejemplo 3 — Producto de tres funciones

Para h = f·g·k, se extiende la regla:

h' = f'·g·k + f·g'·k + f·g·k'

La regla del cociente

Si h(x) = f(x) / g(x), entonces:

h'(x) = [f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)] / [g(x)]²

Condición: g(x) ≠ 0 (el denominador no puede ser cero).

Mnemotécnico visual

Llamemos N al numerador y D al denominador:

h'(x) = (N'D − ND') / D²

"Derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, entre el denominador al cuadrado."

Atención: el orden del numerador importa. N'D − ND' ≠ ND' − N'D.

Ejemplos de la regla del cociente

Ejemplo 1 — Cociente de polinomios

h(x) = (x² + 1) / (2x − 3)
N = x² + 1  →  N' = 2x
D = 2x − 3  →  D' = 2
h'(x) = [2x(2x−3) − (x²+1)·2] / (2x−3)²
      = [4x² − 6x − 2x² − 2] / (2x−3)²
      = (2x² − 6x − 2) / (2x−3)²

Ejemplo 2 — Función trigonométrica tangente

La tangente se define como tan(x) = sen(x)/cos(x). Derivemos usando la regla del cociente:

N = sen(x)  →  N' = cos(x)
D = cos(x)  →  D' = −sen(x)
tan'(x) = [cos(x)·cos(x) − sen(x)·(−sen(x))] / cos²(x)
        = [cos²(x) + sen²(x)] / cos²(x)
        = 1 / cos²(x)
        = sec²(x)

Resultado importante: la derivada de tan(x) es sec²(x).

Ejemplo 3 — Cociente con raíz cuadrada

h(x) = √x / (x + 1)
N = x^(1/2)  →  N' = 1/(2√x)
D = x + 1  →  D' = 1
h'(x) = [(x+1)/(2√x) − √x·1] / (x+1)²
      = [(x+1 − 2x)/(2√x)] / (x+1)²
      = (1−x) / [2√x·(x+1)²]

Alternativa: transformar antes de derivar

A veces conviene reescribir la función antes de aplicar la regla del cociente.

Ejemplo: h(x) = (3x² + 2x) / x = 3x + 2

Aquí es más rápido simplificar y derivar directamente: h'(x) = 3.

Ejemplo: h(x) = 1/x² = x⁻² → h'(x) = −2x⁻³ = −2/x³

Siempre que puedas simplificar o reescribir la función, hazlo antes de derivar.

Errores comunes y cómo evitarlos

En la regla del producto

• ❌ (f·g)' = f'·g' → Incorrecto
• ✅ (f·g)' = f'g + fg'

En la regla del cociente

• ❌ Invertir el orden: escribir ND' − N'D → Signo equivocado
• ❌ Olvidar elevar al cuadrado el denominador
• ❌ Derivar solo el numerador sin aplicar la regla completa

Ejercicios de práctica

1. h(x) = (x³ − 2x)·cos(x) [Usar regla del producto]
2. h(x) = eˣ / (x² + 1) [Usar regla del cociente]
3. h(x) = x·ln(x) [Usar regla del producto]
4. h(x) = sen(x)/x [Usar regla del cociente]

Resumen comparativo