Derivada de funciones polinómicas
Los polinomios son el punto de partida del cálculo diferencial
Los polinomios son las funciones más amigables del cálculo: sin raíces, sin logaritmos, sin senos ni cosenos. Solo sumas de potencias con coeficientes. Por eso, derivar polinomios es el primer ejercicio práctico que todo estudiante domina, y hacerlo bien sienta las bases para todo lo que viene después.
En este temario aprenderás a derivar cualquier polinomio, entender qué nos dice la derivada sobre su comportamiento y ver cómo esta herramienta aparece en problemas reales.
¿Qué es un polinomio? Recordatorio rápido
Un polinomio de grado n tiene la forma:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
Donde los aᵢ son coeficientes reales y n es un entero no negativo. Ejemplos:
- P(x) = 5x³ − 2x + 1 (grado 3)
- Q(x) = x⁵ − 4x² (grado 5)
- R(x) = 7 (grado 0, constante)
Derivar un polinomio: regla general
Gracias a la regla de la potencia y la linealidad de la derivada (suma y múltiplo constante), derivar un polinomio es sencillo: se deriva término a término.
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
P'(x) = n·aₙxⁿ⁻¹ + (n−1)·aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁
El término constante a₀ desaparece (su derivada es 0).
Resultado clave sobre el grado
- La derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n − 1.
- La derivada de una constante es 0.
- La derivada de un polinomio lineal (grado 1) es una constante.
Ejemplos progresivos
Nivel básico
f(x) = 3x² − 5x + 2
f'(x) = 6x − 5
Nivel intermedio
g(x) = 2x⁵ − x⁴ + 3x³ − 7x + 4
g'(x) = 10x⁴ − 4x³ + 9x² − 7
Con coeficientes fraccionarios
h(x) = (1/3)x³ − (1/2)x² + x
h'(x) = x² − x + 1
Polinomio de grado 1
f(x) = mx + b
f'(x) = m
La derivada es simplemente la pendiente. Coherente con la interpretación geométrica: una recta tiene pendiente constante en todos sus puntos.
Derivadas de orden superior
Podemos derivar más de una vez. La segunda derivada es la derivada de la derivada:
f''(x) = [f'(x)]'
Y podemos continuar:
f'''(x), f^(4)(x), ..., f^(n)(x)
Ejemplo:
f(x) = x⁴ − 2x³ + x² − 3
f'(x) = 4x³ − 6x² + 2x
f''(x) = 12x² − 12x + 2
f'''(x) = 24x − 12
f^(4)(x) = 24
f^(5)(x) = 0
Un polinomio de grado n se anula completamente en la derivada de orden n+1 o superior. Todas las derivadas de orden mayor que n son idénticamente cero.
¿Qué nos dice P'(x) sobre P(x)?
Encontrar la pendiente en un punto
P(x) = x³ − 3x² + 2
Pendiente en x = 2:
P'(x) = 3x² − 6x
P'(2) = 12 − 12 = 0
La tangente en x = 2 es horizontal → posible máximo, mínimo o punto de inflexión.
Encontrar puntos donde la tangente tiene pendiente dada
¿En qué puntos de P(x) = x³ − 3x la pendiente es igual a 9?
P'(x) = 3x² − 3 = 9
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
En x = 2 y x = −2, la tangente tiene pendiente 9.
Aplicación en física: movimiento
Si la posición de un objeto es un polinomio en t:
s(t) = −t³ + 6t² − 9t + 2
Entonces:
Velocidad: v(t) = s'(t) = −3t² + 12t − 9
Aceleración: a(t) = v'(t) = −6t + 12
Con esto puedes responder: - ¿Cuándo el objeto está en reposo? → Resolver v(t) = 0. - ¿Cuándo acelera hacia adelante? → Analizar signo de a(t). - ¿Cuándo alcanza velocidad máxima? → Resolver a(t) = 0 y verificar.
Aplicación en economía: ingreso y costo marginal
El costo marginal C'(x) indica cuánto cuesta producir una unidad adicional cuando ya se producen x unidades.
C(x) = 0.01x³ − 0.5x² + 20x + 100
C'(x) = 0.03x² − x + 20
Si x = 10: C'(10) = 3 − 10 + 20 = 13 €/unidad adicional.
Polinomio de Taylor: una aplicación avanzada
La derivada de polinomios es el corazón de los polinomios de Taylor, que aproximan funciones complicadas (senos, exponenciales, logaritmos) mediante polinomios. Esta idea conecta el cálculo con el análisis numérico y es fundamental en ingeniería y ciencias.
Resumen: reglas para derivar polinomios
- Derivar término a término.
- Aplicar la regla de la potencia: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹.
- Los coeficientes constantes "pasan" a la derivada.
- Los términos constantes desaparecen.
- El grado de P'(x) es siempre el grado de P(x) menos 1.