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Derivación implícita

Derivación implícita

Cuando y no está despejada: derivación implícita

Todas las derivadas que hemos calculado hasta ahora eran de funciones explícitas: y = f(x), donde y está sola en un lado. Pero hay curvas importantes —círculos, elipses, curvas algebraicas complejas— donde y y x están mezcladas y no es posible (o conveniente) despejar y.

La derivación implícita resuelve este problema: permite encontrar dy/dx sin necesidad de despejar y.

La idea: derivar ambos lados respecto a x

Partimos de una ecuación F(x, y) = 0 o F(x, y) = G(x, y). La clave es que y es una función de x (aunque no la hayamos despejado), así que cuando derivamos y respecto a x, necesitamos la regla de la cadena:

d/dx [y] = dy/dx
d/dx [y²] = 2y · dy/dx
d/dx [y³] = 3y² · dy/dx
d/dx [f(y)] = f'(y) · dy/dx

Proceso de derivación implícita

  1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto a x.
  2. Cada vez que aparezca y, aplicar la regla de la cadena (multiplicar por dy/dx).
  3. Despejar dy/dx agrupando todos los términos con dy/dx en un lado.

Ejemplo 1 — Circunferencia

La circunferencia x² + y² = 25.

Derivando ambos lados:

2x + 2y·(dy/dx) = 0
2y·(dy/dx) = −2x
dy/dx = −x/y

La pendiente de la tangente a la circunferencia en el punto (3, 4) es:

dy/dx = −3/4

Comprobación: la tangente es perpendicular al radio, que tiene pendiente 4/3. Efectivamente, (−3/4)·(4/3) = −1 ✓

Ejemplo 2 — Elipse

x²/9 + y²/4 = 1
Derivando: (2x)/9 + (2y/4)·(dy/dx) = 0
(dy/dx) = −(4x)/(9y) · (1/2)·...

Simplificando correctamente:

2x/9 + y·(dy/dx)/2 = 0
dy/dx = −4x/(9y)

Ejemplo 3 — Curva más compleja

x³ + y³ = 6xy    (lemniscata de Bernoulli)
Derivando: 3x² + 3y²·(dy/dx) = 6y + 6x·(dy/dx)
3y²·(dy/dx) − 6x·(dy/dx) = 6y − 3x²
(dy/dx)(3y² − 6x) = 6y − 3x²
dy/dx = (6y − 3x²)/(3y² − 6x) = (2y − x²)/(y² − 2x)

Ejemplo 4 — Con función trigonométrica

sen(xy) = x + y
Derivando (regla de la cadena en el seno, producto en el argumento):
cos(xy)·(y + x·dy/dx) = 1 + dy/dx
y·cos(xy) + x·cos(xy)·(dy/dx) = 1 + dy/dx
(dy/dx)[x·cos(xy) − 1] = 1 − y·cos(xy)
dy/dx = [1 − y·cos(xy)] / [x·cos(xy) − 1]

Segunda derivada implícita

Para encontrar d²y/dx², derivamos dy/dx respecto a x, teniendo en cuenta que y depende de x.

Ejemplo (continuando con la circunferencia):

dy/dx = −x/y

d²y/dx² = d/dx[−x/y] = −[y − x·(dy/dx)] / y²
         = −[y − x·(−x/y)] / y²
         = −[y + x²/y] / y²
         = −(y² + x²) / y³
         = −25/y³    (usando x² + y² = 25)

¿Cuándo usar derivación implícita?

  • Cuando y no puede despejarse fácilmente.
  • Para derivar relaciones como x³ + y³ = 1, sen(y) = x, etc.
  • En geometría analítica de cónicas y curvas algebraicas.
  • En física, para relacionar tasas de cambio de variables dependientes.

Resumen del método

  1. Escribir la ecuación implícita.
  2. Derivar ambos lados respecto a x (tratando y como función de x).
  3. Usar d/dx[f(y)] = f'(y)·dy/dx.
  4. Agrupar términos con dy/dx.
  5. Despejar dy/dx.
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