Demostración por Contradicción
Introducción
¿Qué hacer cuando una demostración directa parece imposible? La demostración por contradicción (o reducción al absurdo) es una técnica poderosa que nos permite probar proposiciones asumiendo lo contrario y llegando a una contradicción. Esta técnica ha sido fundamental en matemáticas desde la antigua Grecia y sigue siendo esencial hoy.
El Principio de la Contradicción
La demostración por contradicción se basa en este principio lógico:
Si suponer ¬P (no P) lleva a una contradicción, entonces P debe ser verdadero.
En símbolos: ¬P → Contradicción ⟹ P
Esto funciona porque en lógica clásica, una proposición solo puede ser verdadera o falsa (principio del tercero excluido). Si ¬P es imposible, entonces P es verdadero.
Estructura de la Demostración
Para demostrar la proposición P:
- Suponer que P es falso (es decir, suponer ¬P)
- Razonar lógicamente a partir de esta suposición
- Llegar a una contradicción (algo que es claramente falso)
- Concluir que la suposición ¬P era incorrecta
- Afirmar que P es verdadero
Ejemplo Clásico: √2 es Irracional
Teorema: √2 no es un número racional.
Demostración por contradicción:
Supongamos lo contrario: √2 es racional.
Entonces, √2 puede escribirse como una fracción reducida:
√2 = p/q, donde p y q son enteros sin factores comunes y q ≠ 0
Elevamos al cuadrado:
2 = p²/q² 2q² = p²
Esto significa que p² es par (es múltiplo de 2).
Si p² es par, entonces p es par (porque el cuadrado de un impar es impar).
Como p es par, podemos escribir p = 2k para algún entero k.
Sustituyendo:
2q² = (2k)² = 4k² q² = 2k²
Esto significa que q² es par, por lo tanto q es par.
Pero ahora tenemos que p y q son ambos pares, lo que significa que ambos son divisibles por 2.
CONTRADICCIÓN: Habíamos supuesto que p/q era una fracción reducida (sin factores comunes), pero acabamos de mostrar que ambos tienen el factor 2.
Conclusión: Nuestra suposición inicial es falsa. Por lo tanto, √2 es irracional. ∎
Ejemplo: Infinitud de los Primos
Teorema (Euclides): Hay infinitos números primos.
Demostración por contradicción:
Supongamos lo contrario: Hay una cantidad finita de primos.
Sean p₁, p₂, p₃, ..., pₙ todos los números primos que existen.
Consideremos el número:
N = p₁ · p₂ · p₃ · ... · pₙ + 1
Analizamos N: - N > 1 (es mayor que cualquier primo de la lista) - N no es divisible por p₁ (deja residuo 1) - N no es divisible por p₂ (deja residuo 1) - ... N no es divisible por ningún pᵢ
Pero todo número mayor que 1 o es primo o es producto de primos.
Si N es primo: Encontramos un primo que no está en nuestra lista. Contradicción.
Si N es compuesto: Sus factores primos no están en nuestra lista. Contradicción.
Conclusión: Nuestra suposición es falsa. Los números primos son infinitos. ∎
Ejemplo: No Existe el Mayor Número Real
Teorema: No existe un número real que sea mayor que todos los demás.
Demostración por contradicción:
Supongamos que existe M, el mayor número real.
Consideremos M + 1: - M + 1 es un número real (ℝ es cerrado bajo la suma) - M + 1 > M (porque sumamos un positivo)
CONTRADICCIÓN: Encontramos un real mayor que M, pero habíamos dicho que M era el mayor.
Conclusión: No existe un mayor número real. ∎
¿Cuándo Usar Contradicción?
La demostración por contradicción es especialmente útil cuando:
- La proposición afirma que algo no existe o es imposible
- La demostración directa no ofrece un camino claro
- Negar la proposición genera condiciones más manejables
- Se involucran proposiciones de no existencia o unicidad
Diferencia con la Demostración Directa del Contrarrecíproco
Para demostrar P → Q, podemos:
- Directa: Suponer P, deducir Q
- Contrarrecíproco: Suponer ¬Q, deducir ¬P
- Contradicción: Suponer P y ¬Q, llegar a una contradicción
El contrarrecíproco es un caso especial de contradicción, pero más elegante cuando funciona.
Precauciones
- No confundir: Suponer que P es falso no es lo mismo que tener evidencia de que P es falso
- La contradicción debe ser clara: Debe ser evidentemente imposible, no solo contraintuitiva
- Verificar la lógica: Cada paso desde la suposición hasta la contradicción debe ser válido
Resumen del Método
| Paso | Acción |
|---|---|
| 1 | Suponer que la proposición P es falsa |
| 2 | Razonar lógicamente |
| 3 | Llegar a algo imposible |
| 4 | Concluir que P es verdadera |