Definición de continuidad en un punto

¿Cuándo se puede dibujar una función sin levantar el lápiz?

La imagen cotidiana de la continuidad es esa: una curva que fluye sin saltos, sin huecos, sin "explosiones". Matemáticamente, esa intuición se formaliza de manera precisa usando el concepto de límite que ya dominamos.

Definición formal de continuidad en un punto

Una función f es continua en x = a si se cumplen simultáneamente tres condiciones:

1. f(a) está definida    (el punto existe)
2. lim[x→a] f(x) existe    (el límite existe)
3. lim[x→a] f(x) = f(a)    (el límite coincide con el valor)

Si falla cualquiera de las tres, la función es discontinua en x = a.

Verificación de continuidad: ejemplos

Ejemplo 1 — Función continua

f(x) = x² + 2x − 1    en x = 3
1. f(3) = 9 + 6 − 1 = 14  ✓
2. lim[x→3] f(x) = 14  ✓ (polinomio)
3. lim = f(3)  ✓

f es continua en x = 3.

Ejemplo 2 — Discontinuidad evitable (agujero)

f(x) = (x² − 4)/(x − 2)    en x = 2
1. f(2) no está definida  ✗

Falla la condición 1. El límite sí existe (vale 4), pero la función no está definida en x = 2. La discontinuidad es evitable: si definimos f(2) = 4, la función se vuelve continua.

Ejemplo 3 — Discontinuidad de salto

f(x) = { 1   si x ≤ 0
        { 2   si x > 0

En x = 0: - f(0) = 1 ✓ - lim[x→0⁻] = 1, lim[x→0⁺] = 2. El límite no existe ✗

Falla la condición 2.

Ejemplo 4 — Discontinuidad esencial (asíntota)

f(x) = 1/x    en x = 0
1. f(0) no está definida ✗
2. lim[x→0] 1/x no existe (±∞) ✗

Fallan las condiciones 1 y 2.

Relación entre derivabilidad y continuidad

Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a. La recíproca no es cierta: f(x) = |x| es continua en x = 0 pero no derivable ahí.

Esto tiene una implicación práctica: si encuentras que una función no es continua en un punto, automáticamente sabes que no es derivable ahí.

Continuidad de funciones elementales

Las siguientes funciones son continuas en todo su dominio:

• Polinomios: continuos en ℝ.
• Funciones racionales: continuas donde el denominador ≠ 0.
• √x: continua para x > 0.
• eˣ: continua en ℝ.
• ln(x): continua para x > 0.
• sen(x), cos(x): continuas en ℝ.
• arctan(x): continua en ℝ.

Operaciones que preservan la continuidad

Si f y g son continuas en x = a, entonces también lo son: - f + g, f − g, f · g. - f/g (si g(a) ≠ 0). - f(g(x)) si g es continua en a y f es continua en g(a).

Esto garantiza que combinaciones de funciones elementales son continuas en su dominio.

Resumen