Criterios de convergencia de series

¿Cómo saber si una serie converge sin calcular su suma?

En la práctica, la mayoría de las series no tienen una suma exacta fácilmente calculable. Lo que necesitamos con frecuencia es simplemente saber si converge o diverge, sin necesariamente encontrar el valor exacto. Para eso existen los criterios de convergencia.

Criterio del término general (divergencia)

Si lim[n→∞] aₙ ≠ 0, la serie Σaₙ diverge.

Uso: es el primer test a aplicar, el más rápido.

Σ n/(n+1): lim n/(n+1) = 1 ≠ 0 → Diverge
Σ 1/n²: lim 1/n² = 0 → Inconcluyente (el criterio no da información)

Criterio de la razón (d'Alembert)

Sea L = lim[n→∞] |aₙ₊₁/aₙ|. Entonces:

L < 1  →  Converge absolutamente
L > 1  →  Diverge
L = 1  →  Inconcluyente

Cuándo usarlo

Es especialmente eficaz para series con factoriales (n!), potencias (rⁿ) y productos.

Ejemplo 1 — Factorial

Σ n!/nⁿ
|aₙ₊₁/aₙ| = [(n+1)!/(n+1)^(n+1)] / [n!/nⁿ]
= (n+1)·nⁿ/(n+1)^(n+1) = nⁿ/(n+1)ⁿ = [n/(n+1)]ⁿ → 1/e < 1 → Converge

Ejemplo 2 — Potencia

Σ 2ⁿ/n!
|aₙ₊₁/aₙ| = 2^(n+1)/(n+1)! · n!/2ⁿ = 2/(n+1) → 0 < 1 → Converge

Criterio de la raíz (Cauchy)

Sea L = lim[n→∞] |aₙ|^(1/n). Entonces:

L < 1  →  Converge absolutamente
L > 1  →  Diverge
L = 1  →  Inconcluyente

Cuándo usarlo

Es útil cuando los términos son potencias de n-ésimas.

Ejemplo

Σ (n/(2n+1))ⁿ
|aₙ|^(1/n) = n/(2n+1) → 1/2 < 1 → Converge

Criterio de comparación

Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ: - Σbₙ converge → Σaₙ converge. - Σaₙ diverge → Σbₙ diverge.

Comparación por límite (versión refinada)

Si lim[n→∞] aₙ/bₙ = L con 0 < L < ∞, entonces Σaₙ y Σbₙ tienen el mismo comportamiento (ambas convergen o ambas divergen).

Σ (3n + 1)/(n³ + 2n)
Comparar con Σ 1/n²:
lim [(3n+1)/(n³+2n)] / (1/n²) = lim n²(3n+1)/(n³+2n) = 3 ∈ (0,∞)
Como Σ 1/n² converge → Σ (3n+1)/(n³+2n) converge ✓

Criterio de la integral

Para f positiva, continua y decreciente en [1,∞) con f(n) = aₙ:

Σ aₙ converge ⟺ ∫[1]^∞ f(x) dx converge

Ejemplo

Σ 1/(n·(ln n)²)
∫[2]^∞ 1/(x·(ln x)²) dx = [−1/ln x]₂^∞ = 1/ln 2 < ∞ → Converge

Criterio de Leibniz para series alternadas

Una serie alternada Σ(−1)ⁿaₙ con aₙ > 0 converge si: 1. aₙ₊₁ ≤ aₙ (términos decrecientes). 2. lim aₙ = 0.

El error de truncar la serie al n-ésimo término es menor que |aₙ₊₁|.

Σ (−1)ⁿ/n = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = ln(2)

Converge por Leibniz: 1/n es decreciente y tiende a 0.

Tabla resumen de criterios

Guía práctica: ¿qué criterio usar?

1. Primero: ¿lim aₙ ≠ 0? → Diverge directamente.
2. ¿Hay factoriales o exponentes? → Criterio de la razón.
3. ¿Los términos son potencias de n? → Criterio de la raíz.
4. ¿La forma recuerda a 1/nᵖ? → Comparación.
5. ¿La serie es alternada? → Criterio de Leibniz.

Conclusión del currículo

Con este temario sobre criterios de convergencia de series se completan los 183 temas del currículo reestructurado de la app web de matemáticas. La Sección 9 (Cálculo) cierra con una visión completa que va desde el concepto intuitivo de límite hasta las herramientas más avanzadas del análisis, proporcionando al estudiante una base sólida para cualquier carrera científica, tecnológica o económica.