Continuidad en un intervalo
Extender la continuidad: de un punto a todo un intervalo
Ya sabemos qué significa ser continua en un punto. Ahora extendemos la idea: ¿cuándo es una función continua en un intervalo entero? Esta propiedad global es la que permite aplicar los grandes teoremas del cálculo.
Definición de continuidad en un intervalo
En un intervalo abierto (a, b): f es continua en (a, b) si es continua en cada punto interior x ∈ (a, b).
En un intervalo cerrado [a, b]: f es continua en [a, b] si: - Es continua en cada x ∈ (a, b). - Es continua por la derecha en x = a: lim[x→a⁺] f(x) = f(a). - Es continua por la izquierda en x = b: lim[x→b⁻] f(x) = f(b).
Los extremos del intervalo cerrado solo requieren un límite lateral porque fuera del intervalo no nos importa el comportamiento.
Funciones continuas en todo ℝ
Las siguientes funciones son continuas en toda la recta real:
- Cualquier polinomio: P(x).
- Funciones trigonométricas: sen(x), cos(x).
- La exponencial: eˣ, aˣ para a > 0.
- Combinaciones de las anteriores mediante suma, resta, producto.
Funciones continuas en su dominio natural
Estas funciones tienen restricciones en su dominio pero son continuas en él:
- √x: continua en [0, +∞).
- ln(x): continua en (0, +∞).
- tan(x): continua en ℝ \ {π/2 + kπ}.
- 1/x: continua en (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Teorema de la función compuesta continua
Si g es continua en x = a y f es continua en g(a), entonces f∘g es continua en x = a. Esto garantiza que expresiones como e^(sen(x)), ln(x²+1), arctan(√x) son continuas en su dominio.
¿Por qué importa la continuidad en un intervalo?
La continuidad en un intervalo cerrado [a, b] es la hipótesis de varios teoremas fundamentales:
- Teorema de Weierstrass: f continua en [a,b] alcanza su máximo y mínimo absolutos.
- Teorema del valor intermedio: f continua en [a,b] toma todos los valores entre f(a) y f(b).
- Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio: base de la teoría de derivadas.
- Teorema Fundamental del Cálculo: f continua en [a,b] es integrable en ese intervalo.
Sin continuidad en el intervalo, ninguno de estos teoremas garantiza sus conclusiones.
Ejemplo — Continuidad de una función definida a trozos
f(x) = { x² si x < 1
{ 2x − 1 si x ≥ 1
¿Es continua en [0, 3]?
En x = 1 (único punto potencialmente problemático):
lim[x→1⁻] x² = 1
lim[x→1⁺] (2x−1) = 1
f(1) = 2(1)−1 = 1
Los dos laterales son iguales y coinciden con f(1). Es continua en x = 1, y por tanto en todo [0, 3].
Resumen
La continuidad en un intervalo garantiza que la función "no tiene sorpresas" en ese rango: no salta, no explota, no oscila. Es la condición mínima de buen comportamiento que necesitan los grandes teoremas del análisis.