Concavidad y puntos de inflexión

Más allá del crecimiento: la forma de la curva

Saber si una función crece o decrece describe su "dirección", pero no su "forma". Una función puede crecer rápidamente o lentamente, y puede hacerlo curvándose hacia arriba o hacia abajo. Esa curvatura es la concavidad, y es la segunda derivada la que la revela.

¿Qué es la concavidad?

• Cóncava hacia arriba (convex): la curva se abre hacia arriba, como una taza. Matemáticamente: f''(x) > 0.
• Cóncava hacia abajo (cóncava): la curva se cierra hacia abajo, como una campana invertida. Matemáticamente: f''(x) < 0.

Interpretación geométrica

Si f''(x) > 0, la pendiente de la tangente (dada por f'(x)) está aumentando: la curva acelera hacia arriba. Si f''(x) < 0, la pendiente está disminuyendo: la curva desacelera.

Interpretación física

En movimiento rectilíneo: - f''(t) > 0: el objeto acelera (la velocidad aumenta). - f''(t) < 0: el objeto desacelera (la velocidad disminuye).

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia: de cóncava arriba a cóncava abajo, o viceversa. En ese punto:

f''(c) = 0  (condición necesaria)

Pero no todo punto con f''(c) = 0 es inflexión: hay que verificar que la concavidad realmente cambia a ambos lados de c.

Procedimiento para analizar concavidad

1. Calcular f''(x).
2. Encontrar puntos donde f''(x) = 0 o f''(x) no existe.
3. Esos puntos dividen el dominio en intervalos.
4. Evaluar el signo de f''(x) en cada intervalo.
5. Identificar puntos de inflexión donde el signo cambia.

Ejemplo completo

f(x) = x⁴ − 6x²
f'(x) = 4x³ − 12x
f''(x) = 12x² − 12 = 12(x² − 1) = 12(x−1)(x+1)

f''(x) = 0 en x = ±1.

Puntos de inflexión en x = −1 y x = 1 (la concavidad cambia en ambos).

f(−1) = 1 − 6 = −5  → Punto de inflexión (−1, −5)
f(1) = 1 − 6 = −5   → Punto de inflexión (1, −5)

Caso donde f''(c) = 0 pero NO hay inflexión

f(x) = x⁴
f''(x) = 12x²
f''(0) = 0, pero f''(x) > 0 para todo x ≠ 0

La concavidad no cambia en x = 0 (sigue siendo cóncava arriba). No hay inflexión, solo un mínimo absoluto.

Relación entre concavidad y extremos

El criterio de la segunda derivada para clasificar puntos críticos se basa en la concavidad:

• Si f'(c) = 0 y f''(c) > 0: mínimo relativo (fondo de una "U").
• Si f'(c) = 0 y f''(c) < 0: máximo relativo (tope de una "∩").

Ejemplo con función trigonométrica

f(x) = sen(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = −sen(x)

• f''(x) < 0 en (0, π): cóncava hacia abajo.
• f''(x) > 0 en (π, 2π): cóncava hacia arriba.
• Inflexión en x = π, 2π, 0, ... (donde sen cambia de signo).

Curvatura: una nota avanzada

En geometría diferencial, la curvatura κ de una curva mide cuánto se tuerce:

κ = |f''(x)| / (1 + [f'(x)]²)^(3/2)

Es una generalización de la concavidad que tiene en cuenta también la pendiente. Para una recta, κ = 0. Para una circunferencia de radio r, κ = 1/r.

Resumen