Composición de dos giros

La figura 1 ilustra una combinación de dos giros de 180° en torno a los centros O y O'.
¿Qué ocurre si a una figura le aplicamos dos giros sucesivos de 180°? ¿Y cómo podemos relacionar estos giros con una traslación?
I. Equivalencia entre la composición de dos giros y una traslación
Sean O y O' dos puntos distintos de un plano. Sean A, B y C tres puntos distintos de dicho plano, que suponemos no están alineados.
Construimos los puntos A', B' y C' que son, respectivamente, las imágenes de A, B y C por un giro de 180° en torno al centro O.
A continuación construimos los puntos A'', B'' y C'' que son, respectivamente, las imágenes de A', B' y C' por un giro de 180° en torno al centro O'.
Decimos que los puntos A'', B'' y C'' son las imágenes respectivas de A, B y C por la composición del giro de 180° de centro O y del giro de 180° de centro O’.

Dibujamos los vectores

: observemos que son iguales. Esto significa que hay una traslación resultante de los dos giros anteriores que transforma A en A'', B en B'' y C en C''.
Por precisar más: podemos dibujar el vector

y comprobar que los vectores

tienen la misma dirección y el mismo sentido, y que la longitud del vector

es el doble que la del vector

; podemos pues escribir

.
En resumen: comprobamos que A'', B'' y C'' son las imágenes respectivas de A, B y C por la traslación de vector

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II. Propiedad y demostración
Del resultado que acabamos de obtener en el apartado anterior al aplicar esos dos giros sucesivos, deducimos la siguiente propiedad: la composición de un giro de 180° de centro O y un giro de 180° de centro O' equivale a la traslación de vector

.
Demostración: sean O y O' dos puntos distintos de un plano y A otro punto de dicho plano.
Construimos el punto A', que es la imagen de A por un giro de 180° en torno al centro O.
A continuación, construimos el punto A'', que es la imagen de A' por un giro de 180° en torno al centro O'.
El punto A'' es entonces la imagen del punto A por la composición del giro de 180° de centro O y del giro de 180° de centro O’.

Por la definición de giro de 180°, O es el punto medio del segmento AA' y O' es el punto medio del segmento A'A''.
Se deduce que el segmento OO' es un segmento que une los puntos medios de los dos lados del triángulo

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Aplicando el teorema de Tales, deducimos que los segmentos OO' y AA'' son paralelos y, en cuanto a longitudes,

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Los vectores

tienen la misma dirección y el mismo sentido, y además

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Esto lo podemos traducir, como en el primer apartado, en la igualdad vectorial

.
Esta igualdad vectorial significa que A'' es la imagen de A por la traslación de vector

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Hemos demostrado así que el punto A'', que es la imagen del punto A por un giro de 180° de centro O y un giro de 180° de centro O’, es también la imagen de A por una traslación de vector

, que es el resultado al que queríamos llegar.
III. Aplicación
Problema: sean I y J dos puntos distintos y ABCD un cuadrilátero plano. Queremos construir la imagen de ABCD por composición de un giro de 180° en torno al centro I y de un giro de 180° en torno al centro J.

Solución: sabemos que la composición de un giro de 180° en torno al centro I y de un giro de 180° en torno al centro J es la traslación de vector

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Por tanto, construimos los puntos A', B', C' y D' que son las imágenes respectivas de A, B, C y D por esta traslación.
Los puntos A', B', C' y D' están definidos por las igualdades: