Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado

Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, A, M y B en una circunferencia y dibujamos el ángulo 

. Ahora trazamos un nuevo ángulo 

, siendo O el centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo 

. A continuación, cambiamos la posición del punto M, dejando fijos los puntos A y B. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo 

es siempre igual a la mitad del ángulo 

. ¿Estaremos en lo cierto?
I. Definiciones
A y B son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el punto O. El ángulo 

es conocido con el nombre de ángulocentral de la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arco AB.

Nota: los puntos A y B de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor 

que intercepta el menor arco que forman A y B, y un ángulo central mayor 

que intercepta el arco mayor que forman A y B.
A, B y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo 

recibe el nombre de ánguloinscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.

II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco. 
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito 

y el ángulo central 

interceptan el mismo arco AB; podemos deducir que: 

2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño. 
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos 

y 

interceptan el mismo arco AB. Deducimos que 

.

Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremos O al centro de la circunferencia. 
El ángulo inscrito 

y el ángulo central 

interceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que: 

.
De la misma forma, el ángulo inscrito 

y el ángulo central 

interceptan el mismo arco AB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que: 

.
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado: 

.
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regular ABCDE representado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo 

.

Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremos O al centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central 

y el ángulo inscrito 

: ambos interceptan el mismo arco CD, por tanto, podemos deducir que: 

.
El ángulo central de un pentágono regular es igual a 

.
Por lo tanto, tenemos que 

y, en consecuencia, 

, o bien 

.
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro en O y diámetro BC, así como un punto A, distinto de B y C, en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo 

, inscrito en la semicircunferencia, tiene un ángulo recto en A.

Solución: consideremos el ángulo central 

y el inscrito 

: ambos interceptan el mismo arco BC, por ello podemos deducir que 

.
El ángulo 

es un ángulo llano (180º) ya que BC es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Por lo tanto, 

.
Podemos deducir que: 

. Por lo tanto, el triángulo 

tiene un ángulo recto en A. Se trata de un triángulo rectángulo.

Ángulos

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Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
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Circunferencia y circulo

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Cuerpos de Revolución

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Describir y dibujar un cilindro recto
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Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
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Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

Usar una regla y un cartabón
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Movimientos

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Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
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Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Poliedros

Describir y representar un ortoedro
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Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
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Polígonos

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Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
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Trigonometría

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Vectores

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