Cálculos vectoriales y sus coordenadas

Utilizando números reales, podemos asociar a cada par de valores (x, y) un punto del plano en un sistema de referencia Oxy.
Recíprocamente, para cada punto del plano podemos hallar los dos valores x e y, que son sus coordenadas en el sistema de referencia elegido.
Definiendo un sistema de referencia podemos calcular las coordenadas de un vector y efectuar diferentes tipos de análisis vectorial para resolver problemas de geometría.

I. ¿Cómo situamos un punto en un plano?
Para definir un sistema de referencia es necesario conocer las coordenadas de tres puntos que no estén alineados. En general, hablamos del sistema de referencia Oxy, donde O es el origen, la recta Ox es el eje horizontal y la recta Oy es el otro eje.
Usando un sistema de referencia, asociamos a cada punto del plano un par de números reales trazando rectas paralelas a los ejes que se crucen en dicho punto.

Por ejemplo, hallemos las coordenadas del punto A de la figura anterior.
Al punto donde se cruzan Ox y la recta paralela a Oy que pasa por A lo llamamos Ax, y al punto en que Oy y la recta paralela a Ox que pasa por A se cruzan, lo llamamos Ay.
Para hallar las coordenadas de A:
—para la coordenada x de A, tomamos el valor del punto Ax representado sobre el eje Ox con origen en O;
—para la coordenada y de A, tomamos el valor del punto Ay representado sobre el eje Oy con origen en O,
En este caso, las coordenadas del punto A son (3, 2).
Notas:
—Si los ejes son perpendiculares se trata de un sistema de referenciaortogonal.
—Si los ejes son perpendiculares y si las unidades elegidas sobre ambos ejes miden igual, entonces Oxy es un sistema de referencia ortonormal o plano xy.

II. ¿Cómo definimos un vector? ¿Cuándo son iguales dos vectores?
Dado un plano xy en el que se ha definido una unidad de longitud, un vector se caracteriza:
—por la dirección de la recta AB;
—por su sentido: de A hacia B;
—y por su longitud o módulo: la distancia d(A, B).
El vector es igual al vector si los dos vectores tienen:
—la misma dirección, es decir, la recta AB es paralela a la recta CD;
—el mismo sentido, lo que significa que los puntos B y D están en los extremos de la recta AC;
—la misma longitud, lo que significa que d(A, B) = d(C, D).
Dicho de otra forma si y solo si ABDC es un paralelogramo.
Por tanto:
si y solo si la imagen del punto C por la traslación de A a B es D.
si y solo si los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio.

III. Operaciones con vectores
La suma de dos vectores es otro vector que puede construirse de dos maneras:
—usando la regla del polígono a partir de un punto A: ;

—usando la regla del paralelogramo: .

Nota: la regla del polígono también se usa para descomponer un vector en suma de vectores. Si A y B son dos puntos dados, para cualquier punto C, tenemos: .
Producto de un vector por un número real.
Sea un vector distinto de cero y k un número real también distinto de cero, el vector se define así:
— tiene la misma dirección que ;
— tiene el mismo sentido que si k es positivo, y sentido opuesto si k es negativo. Si k = -1, entonces , que resulta ser el vector opuesto a .
Vectores colineales son aquellos que tienen la misma dirección. Los vectores y son colineales si y solo si hay un número real k tal que .

IV. ¿Cuál es la base del análisis vectorial?
En un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, a cualquier vector se le asocia un único punto M tal que . El punto M es la imagen del origen O mediante una traslación de vector .
Por definición, las componentes de son las de M. Si M tiene de coordenadas , el vector tiene las componentes , lo cual se expresa así: . Por ejemplo, en la gráfica siguiente, .

Se deduce que dos vectores y son iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas: y .
Es fácil deducir las componentes de cualquier vector conocidas las coordenadas de los puntos A y B. En un sistema de coordenadas cartesianas, si A tiene de coordenadas y B tiene de coordenadas , entonces las del vector serán .
Si y son dos vectores de coordenadas y , entonces:
—la suma de los dos vectores y es el vector de coordenadas ;
—el producto del vector por un número real k es el vector de coordenadas .
Sean dos vectores de coordenadas y .
Si y son colineales se cumplen las dos ecuaciones siguientes:
si y solo si y .
Una forma más sencilla de expresar esta propiedad es la regla de la multiplicación en cruz:
y son colineales si y solo si .
Por ejemplo, los vectores y son colineales porque .
Si A y B son dos puntos cuyas coordenadas son y , respectivamente, el módulo del vector es igual a:
.
Recuerda
—Un sistema de referencia queda definido por tres puntos no alineados. En dicho sistema, a cada punto del plano le asociamos dos números reales, sus coordenadas, dibujando rectas paralelas a los ejes que pasen por dicho punto.
—En un sistema de referencia en el que se ha definido la unidad sobre cada eje, un vector se caracteriza por tres propiedades: su dirección, su sentido y su módulo o longitud.
—La suma de dos vectores y es el vector de coordenadas . El producto del vector por un número real k es el vector de coordenadas .
—Los vectores y son colineales si y solo si .