Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución

Del área al volumen: girar una curva en el espacio

Cuando giras una región plana alrededor de un eje, obtienes un sólido de revolución. Las esferas, cilindros, conos y toroides son ejemplos de sólidos de revolución. Y sus volúmenes se calculan con integrales definidas.

Método de los discos

Si giras la región bajo f(x) en [a, b] alrededor del eje x, obtienes un sólido cuya sección transversal en cada punto x es un disco de radio f(x):

V = π·∫[a]^[b] [f(x)]² dx

Ejemplo — Esfera

Giramos y = √(r² − x²) alrededor del eje x en [−r, r]:

V = π·∫[−r]^[r] (r² − x²) dx
= π·[r²x − x³/3]₋ᵣʳ
= π·[r³ − r³/3 − (−r³ + r³/3)]
= π·[(2r³ − 2r³/3)]
= π·(4r³/3) = (4/3)πr³ ✓

Método de las arandelas (washer)

Cuando la región está entre dos curvas f(x) ≥ g(x) ≥ 0 y se gira alrededor del eje x, cada sección es una arandela (disco con agujero):

V = π·∫[a]^[b] {[f(x)]² − [g(x)]²} dx

Ejemplo — Cono con agujero

Giramos la región entre f(x) = 2x y g(x) = x en [0, 3]:

V = π·∫[0]^[3] [(2x)² − x²] dx
= π·∫[0]^[3] (4x² − x²) dx
= π·∫[0]^[3] 3x² dx
= π·[x³]₀³ = 27π

Método de las capas cilíndricas (shells)

Cuando es más cómodo integrar respecto a y, o cuando giramos alrededor del eje y, usamos capas cilíndricas:

V = 2π·∫[a]^[b] x·f(x) dx

Cada "capa" es un cilindro de radio x, altura f(x) y grosor dx.

Ejemplo — Paraboloide

Giramos y = x² en [0, 2] alrededor del eje y:

V = 2π·∫[0]^[2] x·x² dx = 2π·∫[0]^[2] x³ dx = 2π·[x⁴/4]₀² = 2π·4 = 8π

Cuándo usar cada método

Elige el método que produzca la integral más sencilla.

Volúmenes importantes obtenidos por revolución

Resumen de fórmulas

Discos:     V = π∫[f(x)]² dx
Arandelas:  V = π∫{[f(x)]²−[g(x)]²} dx
Capas:      V = 2π∫x·f(x) dx