Cálculo de áreas entre curvas

Más allá del área bajo una curva

Calcular el área entre dos curvas es una de las aplicaciones más frecuentes de la integral definida. Aparece en economía (excedente del consumidor/productor), física (trabajo entre dos fuerzas) y geometría (área de regiones acotadas).

Fórmula del área entre dos curvas

Si f(x) ≥ g(x) en [a, b], el área entre las dos curvas es:

A = ∫[a]^[b] [f(x) − g(x)] dx

La función "de arriba" menos la función "de abajo", integrada en el intervalo donde se superponen.

Paso a paso

Encontrar los puntos de intersección (resolver f(x) = g(x)).
Determinar cuál función está por encima en cada subintervalo.
Integrar la diferencia en cada subintervalo.
Sumar los resultados (todos positivos).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Parábola y recta

Área entre f(x) = x² y g(x) = x.

Intersecciones: x² = x → x(x−1) = 0 → x = 0 y x = 1.

En [0, 1]: x ≥ x² (la recta está por encima).

A = ∫[0]^[1] (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6

Ejemplo 2 — Dos parábolas

Área entre f(x) = 4 − x² y g(x) = x² − 2x.

Intersecciones: 4−x² = x²−2x → 2x²−2x−4 = 0 → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0 → x = −1, x = 2.

En [−1, 2]: verificar con x = 0: f(0) = 4, g(0) = 0 → f está por encima.

A = ∫[−1]^[2] [(4−x²)−(x²−2x)] dx = ∫[−1]^[2] (4 − 2x² + 2x) dx
= [4x − 2x³/3 + x²]₋₁²
= (8 − 16/3 + 4) − (−4 + 2/3 + 1)
= (12 − 16/3) − (−3 + 2/3)
= 12 − 16/3 + 3 − 2/3
= 15 − 18/3 = 15 − 6 = 9

Área usando integración en y

A veces es más fácil integrar en y que en x, especialmente cuando las curvas se expresan más naturalmente como x = h(y).

A = ∫[c]^[d] [x_derecha − x_izquierda] dy

Ejemplo: área entre x = y² y x = y + 2.

Intersecciones: y² = y+2 → y² − y − 2 = 0 → y = 2 y y = −1.

En [−1, 2]: x_derecha = y+2, x_izquierda = y².

A = ∫[−1]^[2] (y+2−y²) dy = [y²/2 + 2y − y³/3]₋₁²
= (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3)
= (6 − 8/3) − (−3/2 + 1/3)
= 6 − 8/3 + 3/2 − 1/3
= 6 − 3 + 3/2 = 3 + 3/2 = 9/2

Curvas que se cruzan múltiples veces

Cuando las curvas se cruzan en más de dos puntos, debes: 1. Encontrar todos los puntos de intersección. 2. Dividir el intervalo en subintervalos según qué función está por encima. 3. Sumar los valores absolutos de cada subintegral.

Resumen

A = ∫[a]^[b] |f(x) − g(x)| dx
  = ∫[subintervalos donde f≥g] (f−g) dx + ∫[subintervalos donde g≥f] (g−f) dx