Calcular límites por sustitución directa

El método más sencillo: sustituir directamente

Para calcular la gran mayoría de límites en la práctica, el primer método que debes intentar es el más simple: sustituir directamente el valor al que se acerca x. Cuando funciona, es inmediato. Cuando no funciona, te indica qué tipo de técnica adicional necesitas.

¿Cuándo funciona la sustitución directa?

La sustitución directa funciona cuando la función es continua en el punto x = a. Eso significa que:

lim[x→a] f(x) = f(a)

Para las funciones más comunes —polinomios, funciones racionales donde el denominador no se anula, raíces, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas en su dominio— la sustitución directa es válida.

Ejemplos de sustitución directa

Límite de un polinomio

lim[x→3] (2x² − 5x + 1)
= 2(9) − 5(3) + 1
= 18 − 15 + 1 = 4

Los polinomios siempre admiten sustitución directa para cualquier valor real de a.

Límite de una función racional (denominador ≠ 0)

lim[x→2] (x² + 3x) / (x + 1)
= (4 + 6) / 3
= 10/3

Comprobamos: en x = 2, el denominador es 3 ≠ 0. Sustitución válida.

Límite de una raíz cuadrada

lim[x→4] √(2x + 1)
= √(8 + 1)
= √9 = 3

Límite trigonométrico simple

lim[x→π/2] sen(x)
= sen(π/2) = 1

lim[x→0] cos(x)
= cos(0) = 1

Límite exponencial y logarítmico

lim[x→1] eˣ = e¹ = e
lim[x→1] ln(x) = ln(1) = 0

Cuando la sustitución directa falla: las indeterminaciones

La sustitución directa falla cuando produce una forma indeterminada, siendo las más comunes:

Cuando aparece 0/0 ó ∞/∞, la sustitución dice "no sé" — el límite puede ser cualquier número, o infinito, o no existir. Se necesita otra técnica.

Límites de funciones compuestas por sustitución

lim[x→2] sen(x² − 4)
= sen(4 − 4)
= sen(0) = 0

lim[x→0] e^(cos x)
= e^(cos 0)
= e^1 = e

La regla para funciones compuestas f(g(x)): si g es continua en a y f es continua en g(a):

lim[x→a] f(g(x)) = f(g(a))

Técnica complementaria: factorización para resolver 0/0

Cuando aparece la forma 0/0, el truco más frecuente es factorizar el numerador o el denominador y cancelar el factor común que provoca la indeterminación.

Ejemplo 1

lim[x→3] (x² − 9) / (x − 3)
= lim[x→3] (x−3)(x+3) / (x−3)
= lim[x→3] (x + 3)
= 6

Ejemplo 2

lim[x→1] (x³ − 1) / (x − 1)
= lim[x→1] (x−1)(x²+x+1) / (x−1)
= lim[x→1] (x² + x + 1)
= 3

Ejemplo 3 — Racionalización

lim[x→0] (√(x+4) − 2) / x
Multiplicar por (√(x+4)+2)/(√(x+4)+2):
= lim[x→0] (x+4−4) / [x(√(x+4)+2)]
= lim[x→0] 1/(√(x+4)+2)
= 1/4

Resumen del protocolo de cálculo de límites

Paso 1: Intentar sustitución directa.
    ¿Resultado definido? → Ese es el límite.
    ¿Forma 0/0 o ∞/∞? → Pasar al Paso 2.

Paso 2: Simplificar (factorizar, racionalizar o usar identidades).
    Cancelar el factor problemático.
    Volver al Paso 1.

Límites importantes por sustitución directa

Memorizarlos ahorra tiempo y evita errores en cálculos más complejos.