Tenemos que dibujar el segmento más corto que une el punto con la recta. ¿Por qué hemos de utilizar una escuadra?
I. Distancia de un punto a una recta
1. Propiedad
Sea r una recta cualquiera y A un punto del plano. H es el punto en el que la perpendicular a la recta r, trazada desde el punto A,corta a dicha recta r. H es el punto de r más próximo al punto A.
En la figura vemos que si M es un punto de la recta diferente de H, entonces AM > AH.
2. Demostración
En primer lugar observamos que esta propiedad se cumple si A pertenece a r. Efectivamente, en este caso, H = A y por tanto AH = 0, y si M es diferente de H (por tanto, también diferente de A) entonces AM > 0.
A continuación, consideramos el caso en que A no pertenezca a r. Utilizando de nuevo la figura 1, construimos el punto A’,simétrico de A con respecto a r.
La recta AA' es perpendicular a r. Los puntos A, H y A' están alineados y H es el centro del segmento AA'. Se cumple que AA' = 2AH. (1)
Además, como M está sobre la recta r, se cumple que A'M = AM. (2)
Consideremos los tres puntos A, A' y M. Por la propiedad de un triángulo según la cual la longitud de uno cualquiera de sus lados es siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos, se cumple que:
.
Usando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos
. Simplificando esta inecuación, dividiendo sus dos miembros entre 2, resulta:
, que es lo que queríamos demostrar.
3. Definición
Sea r una recta cualquiera, A un punto y H el punto donde corta la perpendicular a la recta r trazada desde el punto A.
La distancia del punto A a la recta r es la longitud del segmento AH.
En el apartado I.1 vimos que esta es la distancia más corta entre A y un punto de la recta r.
II. Consecuencias
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo
Propiedad: Sea
un triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto corresponde al vértice A. La hipotenusa BC es su lado más largo.
—La distancia de B a la recta AC es BA, por tanto, BC > BA.
—La distancia de C a la recta AB es CA, por tanto, BC > CA.
Esto prueba que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
2. Puntos situados a cierta distancia de una recta dada
Propiedad: Sea r una recta y d un número real positivo. El conjunto de puntos situados a una distancia d de la recta r forma dos rectas que son paralelas a r.
Aplicación: sean r y s dos rectas secantes. Hallar los puntos que distan 2 cm de r y 3 cm de s.
Hemos dibujado de rojo el conjunto de puntos que distan 2 cm de r y de verde el conjunto de puntos que distan 3 cm de s.
Estas cuatro rectas se cortan en A, B, C y D, que son los puntos que distan 2 cm de r y 3 cm de s.
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
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Describir y dibujar un cilindro recto
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Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
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Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
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Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
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Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
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Como construir un paralelogramo o paralelogramas
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Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
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Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
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Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
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Geometría plana
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Congruencia de triángulos
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Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
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